関手圏はアーベル圏

命題 5.7（「加法圏とアーベル圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal C$ を小さい圏、 $\mathcal A$ をアーベル圏とする。関手圏 $[\mathcal C, \mathcal A]$ （定義 5.3［圏・関手・自然変換］）はアーベル圏であり、自然変換 $\alpha\colon F \to G$ の核・余核は各点で取れる。すなわち各 $X$ について $\alpha_X$ の核 $k_X\colon KX \to FX$ を選ぶと、 $K$ は関手に、 $k$ は自然変換になり、 $k = \ker \alpha$ である（余核も同様）。とくに $\alpha$ が mono（epi）であることは各 $\alpha_X$ が mono（epi）であることと同値で、列 $F' \to F \to F''$ が $F$ で完全であることは、各 $X$ で $F'X \to FX \to F''X$ が完全であることと同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換
- 宇宙の公理公理 2.2・圏・関手・自然変換
- 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
  - Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
  - 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
層の圏は Grothendieck 圏✓定理 8.2・層
高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジー
lim¹ の記述と Mittag-Leffler 条件✓定理 8.2・導来関手と δ 関手
G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大
有向な部分対象の族と AB5✓補題 6.5・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
Grothendieck 圏の例✓命題 6.7・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

関手圏はアーベル圏

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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