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加群の圏はアーベル圏

命題 4.6（「加法圏とアーベル圏」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を可換環とする。 $\mathsf{Mod}_A$ はアーベル圏であり、 $f\colon M \to N$ について次が成り立つ。

$\ker f$ は包含 $\operatorname{Ker} f \hookrightarrow M$ 、 $\operatorname{coker} f$ は射影 $N \to N/f(M)$ 、 $\operatorname{im} f$ は包含 $f(M) \hookrightarrow N$ である。
$f$ が mono であることと単射であること、epi であることと全射であることはそれぞれ同値である。

とくに $A = \mathbb Z$ として、 $\mathsf{Ab}$ はアーベル圏である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
加群の Tor・Ext との一致✓命題 7.1・導来関手と δ 関手
代数的 Künneth 公式✓定理 7.2・Ext と拡大
G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大
加群の圏は十分に射影対象・入射対象をもつ✓命題 5.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
Grothendieck 圏の例✓命題 6.7・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
Hom による五項補題✓補題 3.3・三角圏とホモトピー圏の三角構造

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