数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

加群の圏は十分に射影対象・入射対象をもつ

命題 5.1（「射影対象・入射対象と Grothendieck 圏」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏

  • 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
• 射影対象・入射対象定義 3.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
• 分解の存在✓命題 3.2・Tor・Ext と深さ

  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
• 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
• 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  • PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

      • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 単項イデアル整域定義 7.1・イデアルと剰余環
  • 指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 加群の Tor・Ext との一致✓命題 7.1・導来関手と δ 関手
• Tor の平衡性の自然性✓系 7.2・導来関手と δ 関手
• Abel 群の Ext の計算✓命題 6.2・Ext と拡大
• 変化環のスペクトル系列✓定理 5.4・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
• 入射余生成子の存在✓系 8.5・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

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