数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

射影加群の特徴づけ

定理 3.3（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A$ 加群 $P$ について次は同値である。

$P$ は射影的である。
関手 $\operatorname{Hom}_A(P, -)$ は完全である。すなわち短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ を短完全列 $0 \to \operatorname{Hom}(P, M') \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, M'') \to 0$ に写す。
全射 $M \to P$ はすべて分裂する。
$P$ はある自由加群の直和因子である。

$P$ が有限生成なら、(4) の自由加群として $A^n$ を取れる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 11 件

加群の圏は十分に射影対象・入射対象をもつ✓命題 5.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
局所化と射影次元・Ext✓補題 2.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
有限自由分解をもつ射影加群✓補題 8.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環
形式的に滑らかな代数の Ω は射影的✓定理 6.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ

関連するノック 3 問