局所化と射影次元・Ext

補題 2.2（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環、 $S$ を積閉集合、 $M$ を $A$ 加群とする。

$\operatorname{pd}_{S^{-1}A} S^{-1}M \le \operatorname{pd}_A M$ である。
$A$ が Noether 環で $M$ が有限生成なら、任意の $A$ 加群 $N$ と $i \ge 0$ について $S^{-1}\operatorname{Ext}^i_A(M, N) \cong \operatorname{Ext}^i_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
分解の存在✓命題 3.2・Tor・Ext と深さ
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    単項イデアル整域定義 7.1・イデアルと剰余環
  - 指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 五項補題（加群）✓系 4.2・加群・完全列・中山の補題
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ
  - 射影加群定義 3.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ

これを使っている定理証明で参照している 1 件

正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

局所化と射影次元・Ext

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件