Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法

0. この記事の要点

図形を方程式で切っていくとき、方程式を一つ足すごとに次元がちょうど一つ下がる、というのが素朴な感覚です。この感覚がきちんと成り立つ環を Cohen–Macaulay 環といいます。たとえば 4 次元空間で 2 枚の平面が原点の 1 点だけで交わる図形は、原点でこの感覚が成り立たず、扱いにくくなる例です。もう一つの主役の正則局所環は、図形のなめらかな点にあたる環で、因数分解の一意性などのよい性質をもちます。この記事を読み終えると、この二つの環の関係と、環が「正規」というよい性質をもつかどうかを判定する条件が分かります。

• Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ では $\operatorname{depth} A \le \dim A$ です（深さは、零因子でない元を何個続けて取れるかの数）。等号が成り立つ環を Cohen–Macaulay 環（CM 環）といいます。CM 環は「パラメータ系（次元と同じ個数の元で、生成するイデアルが $\mathfrak{m}$ 準素になるもの）がすべて正則列になる環」で、随伴素イデアルがすべて極小で同じ次元をもち（非混合性）、局所化しても CM のままです。パラメータイデアル $\mathfrak{q}$ について $\ell(A/\mathfrak{q}) \ge e(\mathfrak{q})$（$\ell$ は長さ、$e$ は重複度）で、等号は CM と同値です。
• CM 環は鎖状（素イデアルの間の飽和鎖の長さがそろう性質）で、$A$ が CM なら $A[x]$ も CM です。したがって CM 環上の有限生成代数はすべて鎖状（普遍鎖状）です。
• $\dim A = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ となる局所環が正則局所環です。正則 $\iff$ $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$（べき $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ を次数 $n$ の部分として並べた環）が多項式環で、正則局所環は整域かつ CM、重複度は $1$ です。
• Serre の定理: Noether 局所環が正則 $\iff$ 大域次元が有限。このとき $\operatorname{gldim} A = \dim A$ です。系として正則局所環の局所化は正則で、さらに正則局所環は UFD（素因数分解が一意にできる整域）です（Auslander–Buchsbaum）。
• Serre の判定法: Noether 環が被約 $\iff$ $(R_0)$ かつ $(S_1)$、正規 $\iff$ $(R_1)$ かつ $(S_2)$。正則局所環を正則列で割った完全交叉は CM です（$(R_k)$ は正則性、$(S_k)$ は深さについての条件で、§9 で定義します）。

この記事で使う事前知識

• 正則列: 元の列 $x_1, \ldots, x_r$ で、各 $x_i$ が $A/(x_1, \ldots, x_{i-1})$ の零因子でなく、最後まで割っても $0$ にならないもの。→ 正則列
• 深さ: 極大イデアルの元からなる正則列を、何個まで延ばせるかという数。→ 深さ
• 随伴素イデアル: 零因子の集まりを覆う素イデアルで、零因子とは、どれかの随伴素イデアルに属する元のこと。→ 随伴素イデアル
• Krull 次元と高さ: 次元は素イデアルの真の増大列の最大の長さ、素イデアルの高さは、そこで終わる列の最大の長さ。→ Krull 次元・高さ
• 重複度: $\mathfrak{q}^n$ で割った剰余環の長さを $n$ の多項式として見たとき、その最高次の係数に $d!$ をかけたもの。→ 重複度
• 大域次元: すべての加群の射影次元の上限。→ 大域次元

1. 動機

Tor・Ext と深さ の章で、Noether 局所環 $A$ の深さ（零因子でない元を何個続けて取れるか）は次元以下であることを見ました（命題 7.9［Tor・Ext と深さ］）。深さが次元より小さくなるのは、たとえば $k[x, y]/(x^2, xy)$ のように埋没素イデアル（極小でない随伴素イデアル）があって、ある方向に「余計な点」が付いている場合でした（例 7.10［Tor・Ext と深さ］）。等号が成り立つ環では、次元の数だけの「独立な方程式」で原点を切り出すと、その方程式の列が正則列になります。幾何的には、どの点の近くでも成分の次元がそろっていて、余分な埋め込み成分がない状態です。これが Cohen–Macaulay 環で、代数幾何では Serre 双対性が素直な形で成り立つ条件として現れます。

もう一つの主役は正則局所環です。代数多様体の点が非特異であることは、その点の局所環が正則であることとして定式化されます。Krull 次元と単項イデアル定理 の不等式 $\dim A \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$（定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）で等号が成り立つ、すなわち接空間の次元が多様体の次元に等しいということです。1 次元の正則局所環は離散付値環そのものでした（定理 3.4［離散付値環と Dedekind 環］）。正則性は定義だけ見ると局所化で保たれるかどうかすら明らかでありませんが、Serre は「大域次元が有限」というホモロジー代数の条件で特徴づけ、局所化の問題を一挙に解決しました。この章では次元論（Hilbert–Samuel 多項式）とホモロジー代数（Koszul 複体・Auslander–Buchsbaum の公式）を合わせてこれらを証明します。

最後に、離散付値環と Dedekind 環 で示した「Noether 整閉整域の高さ 1 での振る舞い」（定理 6.2［離散付値環と Dedekind 環］）を、正則性の条件 $(R_k)$ と深さの条件 $(S_k)$ の言葉に翻訳し、正規性の判定法にまとめます。

以下、環は単位元をもつ可換環です。局所環を $(A, \mathfrak{m}, k)$ と書くときは $k = A/\mathfrak{m}$ で、深さ・射影次元・$\operatorname{Ext}$ の記号は Tor・Ext と深さ の章に従います。

2. 準備：局所化・環の取り替え・深さの補足

この節では、後の証明で使うホモロジー代数の小さな事実をまとめて証明します。まず局所化の局所化です。

補題 2.1（局所化の局所化）✓

$A$ を環、$\mathfrak{q}$ を素イデアル、$S \subseteq A \setminus \mathfrak{q}$ を積閉集合とする。$S^{-1}\mathfrak{q}$ は $S^{-1}A$ の素イデアルで、$\varphi\colon A_{\mathfrak{q}} \to (S^{-1}A)_{S^{-1}\mathfrak{q}}$、$a/u \mapsto (a/1)/(u/1)$ は環の同型である。とくに素イデアル $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ について $(A_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} \cong A_{\mathfrak{q}}$ である。

証明（補題 2.1）

$S^{-1}\mathfrak{q}$ が素イデアルであることと、$b/s \in S^{-1}\mathfrak{q} \iff b \in \mathfrak{q}$ は 定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3) です。$B = (S^{-1}A)_{S^{-1}\mathfrak{q}}$ とおきます。$u \notin \mathfrak{q}$ なら $u/1 \notin S^{-1}\mathfrak{q}$ なので、$A \to B$、$a \mapsto (a/1)/1$ は $A \setminus \mathfrak{q}$ を単元に写し、定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\varphi$ が定まります。逆向きに、$S^{-1}A \to A_{\mathfrak{q}}$、$a/s \mapsto a/s$ は $S \subseteq A \setminus \mathfrak{q}$ から同じ普遍性で定まり、$S^{-1}A \setminus S^{-1}\mathfrak{q}$ の元 $b/s$（$b \notin \mathfrak{q}$）を単元 $b/s$ に写すので、$\psi\colon B \to A_{\mathfrak{q}}$ が定まります。$\psi\varphi(a/u) = a/u$ で、$\varphi\psi$ は $(a/s)/(b/t) \mapsto (at/1)/(bs/1)$ となり、これは $B$ で $(a/s)/(b/t)$ に等しい（分母を払うと $(a/s)(bs/1) = (at/1)(b/t)$）ので、$\varphi$ と $\psi$ は互いに逆です。最後の主張は $S = A \setminus \mathfrak{p}$ の場合です。

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次は、射影次元と $\operatorname{Ext}$ が局所化でどう振る舞うかです。

補題 2.2（局所化と射影次元・Ext）✓

$A$ を環、$S$ を積閉集合、$M$ を $A$ 加群とする。

1. $\operatorname{pd}_{S^{-1}A} S^{-1}M \le \operatorname{pd}_A M$ である。
2. $A$ が Noether 環で $M$ が有限生成なら、任意の $A$ 加群 $N$ と $i \ge 0$ について $S^{-1}\operatorname{Ext}^i_A(M, N) \cong \operatorname{Ext}^i_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)$ である。

証明（補題 2.2）

(1) $\operatorname{pd}_A M = n < \infty$ とし、長さ $n$ の射影分解 $P_\bullet \to M$ を取ります。定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ により $S^{-1}P_\bullet \to S^{-1}M$ は完全です。$P_i$ は自由加群 $F$ の直和因子なので（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (4)）、$S^{-1}P_i$ は $S^{-1}F$ の直和因子です。$F = A^{(I)}$ なら 命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (6)(3)(4) により $S^{-1}F \cong S^{-1}A \otimes F \cong (S^{-1}A)^{(I)}$ は自由なので、$S^{-1}P_i$ は射影的です（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。よって $S^{-1}P_\bullet$ は長さ $n$ 以下の射影分解です。

(2) 命題 3.2［Tor・Ext と深さ］ により、$F_i = A^{b_i}$ からなる自由分解 $F_\bullet \to M$ があります。(1) と同じく $S^{-1}F_\bullet$ は $S^{-1}M$ の自由分解です。$A^{b}$ は有限表示なので、命題 5.5［加群・完全列・中山の補題］ の同型 $\theta\colon S^{-1}\operatorname{Hom}_A(F_i, N) \cong \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}F_i, S^{-1}N)$ があります。$\theta(\psi d/s)(m/t) = \psi(dm)/st = \theta(\psi/s)(d(m)/t)$ なので $\theta$ は微分 $d^*$ と可換で、コチェイン複体の同型です。局所化は完全なのでコホモロジーと交換し、$S^{-1}H^i(\operatorname{Hom}(F_\bullet, N)) \cong H^i(\operatorname{Hom}(S^{-1}F_\bullet, S^{-1}N))$ となります。左辺は $S^{-1}\operatorname{Ext}^i_A(M, N)$、右辺は $\operatorname{Ext}^i_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)$ です（系 4.2［Tor・Ext と深さ］）。

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補題 2.3（直和の射影次元）✓

$A$ 加群 $M_1, M_2$ について $\operatorname{pd}(M_1 \oplus M_2) = \max\{\operatorname{pd} M_1, \operatorname{pd} M_2\}$ である。とくに直和因子の射影次元はもとの加群の射影次元以下である。

証明（補題 2.3）

$P_\bullet \to M_1$、$Q_\bullet \to M_2$ を射影分解とすると、$P_\bullet \oplus Q_\bullet \to M_1 \oplus M_2$ は完全で、各項は射影的です（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。$\operatorname{Hom}(P_n \oplus Q_n, N) \cong \operatorname{Hom}(P_n, N) \oplus \operatorname{Hom}(Q_n, N)$ は微分と可換で、直和の複体のコホモロジーは成分ごとのコホモロジーの直和なので、$\operatorname{Ext}^i(M_1 \oplus M_2, N) \cong \operatorname{Ext}^i(M_1, N) \oplus \operatorname{Ext}^i(M_2, N)$ です。補題 6.2［Tor・Ext と深さ］ により、$\operatorname{pd}(M_1 \oplus M_2) \le n$ は $\operatorname{pd} M_1 \le n$ かつ $\operatorname{pd} M_2 \le n$ と同値です。

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次の補題は、零因子でない元で割った環に移っても射影次元が増えないことを述べます。Serre の定理の証明で、次元についての帰納法を回すのに使います。

補題 2.4（環を変える補題）✓

$A$ を環、$M$ を $A$ 加群、$x \in A$ を $A$ と $M$ の両方の零因子でない元とし、$A' = A/xA$、$M' = M/xM$ とおく。このとき $\operatorname{pd}_{A'} M' \le \operatorname{pd}_A M$ である。

証明（補題 2.4）

$M' = 0$ なら示すことはないので $M' \ne 0$ とし、$\operatorname{pd}_A M = n < \infty$、$P_\bullet \to M$ を長さ $n$ の射影分解とします。$x$ は $A$ の零因子でないので $0 \to A \xrightarrow{x} A \to A' \to 0$ は $A'$ の自由分解で、定理 4.6［Tor・Ext と深さ］ により $\operatorname{Tor}_i^A(M, A')$ は複体 $0 \to M \xrightarrow{x} M \to 0$ のホモロジーと同型です。$x$ は $M$ の零因子でないので、$i \ge 1$ で $\operatorname{Tor}_i^A(M, A') = 0$ です。他方 $\operatorname{Tor}_i^A(M, A') = H_i(P_\bullet \otimes A')$ なので、複体 $P_\bullet \otimes A' = P_\bullet/xP_\bullet$ は $i \ge 1$ で完全で、$H_0 = M \otimes A' \cong M'$ です（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)）。$P_i \oplus Q \cong F$（$F = A^{(I)}$ は自由）なら $P_i/xP_i \oplus Q/xQ \cong F/xF \cong (A')^{(I)}$ なので、$P_i/xP_i$ は射影 $A'$ 加群です。よって $P_\bullet/xP_\bullet$ は $M'$ の長さ $n$ 以下の射影 $A'$ 分解です。

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短完全列での深さの比較です。深さは 定理 7.4［Tor・Ext と深さ］ により $\operatorname{depth} M = \min\{ i : \operatorname{Ext}^i(k, M) \ne 0 \}$ と読めます。

補題 2.5（短完全列と深さ）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ を $0$ でない有限生成 $A$ 加群の完全列とする。

1. $\operatorname{depth} M \ge \min\{\operatorname{depth} M', \operatorname{depth} M''\}$。
2. $\operatorname{depth} M' \ge \min\{\operatorname{depth} M, \operatorname{depth} M'' + 1\}$。
3. $\operatorname{depth} M'' \ge \min\{\operatorname{depth} M' - 1, \operatorname{depth} M\}$。

証明（補題 2.5）

$0$ でない有限生成加群 $L$ では、定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) により $\mathfrak{m}L \ne L$ で、定理 7.4［Tor・Ext と深さ］ から $\operatorname{depth} L = \min\{ i : \operatorname{Ext}^i(k, L) \ne 0 \}$ です。定理 4.5［Tor・Ext と深さ］ の (1) から完全列

$$0 \to \operatorname{Hom}(k, M') \to \operatorname{Hom}(k, M) \to \cdots \to \operatorname{Ext}^{i}(k, M') \to \operatorname{Ext}^i(k, M) \to \operatorname{Ext}^i(k, M'') \to \operatorname{Ext}^{i+1}(k, M') \to \cdots$$

が得られます。(1) $i < \min\{\operatorname{depth} M', \operatorname{depth} M''\}$ なら $\operatorname{Ext}^i(k, M)$ は両隣 $\operatorname{Ext}^i(k, M') = 0$、$\operatorname{Ext}^i(k, M'') = 0$ に挟まれて $0$ です。(2) $i < \min\{\operatorname{depth} M, \operatorname{depth} M'' + 1\}$ なら、$\operatorname{Ext}^i(k, M')$ は $\operatorname{Ext}^{i-1}(k, M'')$（$i = 0$ ではこの項はなく左端は $0$）と $\operatorname{Ext}^i(k, M)$ に挟まれ、どちらも $0$ です。(3) $i < \min\{\operatorname{depth} M' - 1, \operatorname{depth} M\}$ なら、$\operatorname{Ext}^i(k, M'')$ は $\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0$ と $\operatorname{Ext}^{i+1}(k, M') = 0$ に挟まれて $0$ です。

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$\mathfrak{m}$ を生成する正則列があれば、その Koszul 複体が剰余体の極小自由分解を与えます。

命題 2.6（Koszul 複体は極小自由分解）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{m}$ を正則列とする。Koszul 複体 $K(x) \to A/(x_1, \ldots, x_n)$ は極小自由分解であり、$\operatorname{pd} A/(x_1, \ldots, x_n) = n$、$\dim_k \operatorname{Tor}_i(A/(x_1, \ldots, x_n), k) = \binom{n}{i}$ である。とくに $\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n)$ なら $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd} k = n$ である。

証明（命題 2.6）

定理 8.3［Tor・Ext と深さ］ により $K(x)$ は自由分解で、$K_p(x)$ は階数 $\binom{n}{p}$ の自由加群です。定義 8.1［Tor・Ext と深さ］ の微分 $d(e_S)$ の係数は $\pm x_{s_j} \in \mathfrak{m}$ なので $d(K_p(x)) \subseteq \mathfrak{m}K_{p-1}(x)$ で、定義 3.5［Tor・Ext と深さ］ の意味で極小です。$K_n(x) \cong A \ne 0$、$p > n$ で $K_p(x) = 0$ なので、定理 6.3［Tor・Ext と深さ］ の (1)(2) から $\dim_k \operatorname{Tor}_i = \binom{n}{i}$、$\operatorname{pd} = n$ です。$\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n)$ なら $A/(x) = k$ で、系 6.5［Tor・Ext と深さ］ から $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd} k = n$ です。

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最後に、素イデアル回避を「素でないイデアルが一つ混じる」場合に広げておきます。

この補題のねらいは次のとおりです。素イデアル回避は、イデアルが有限個の素イデアルの和集合に含まれるなら、そのうちのどれかに含まれる、という主張でした。ここでは和集合に $\mathfrak{m}^2$ のような素でないイデアルが一つ混ざっていても、同じ結論が使えるようにします。§7 の Serre の定理の証明の段階 1 で、零因子でなく $\mathfrak{m}^2$ にも入らない元を選ぶために使います。証明は、結論が成り立たないと仮定し、各イデアルから「そのイデアルにだけ属する元」を一つずつ取って、それらの和や積から矛盾する元を作ります。

補題 2.7（素でないイデアルを一つ含む素イデアル回避）✓

$A$ を環、$\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ をイデアル、$\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n$ を素イデアルとし、$\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \cup \mathfrak{p}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{p}_n$ とする。このとき $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}$ であるか、ある $i$ で $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{p}_i$ である。

証明（補題 2.7）

$I_0 = \mathfrak{b}$、$I_j = \mathfrak{p}_j$ とし、イデアルの個数 $n + 1$ についての帰納法で示します。$n = 0$ は明らかです。結論が成り立たないとします。$\mathfrak{a}$ がこれらのうちの真部分族の和集合に含まれれば、その族は素でないイデアルを高々一つしか含まないので、帰納法の仮定（$\mathfrak{b}$ を含まない族なら 補題 2.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）から結論が出てしまいます。よって各 $j$ について $y_j \in \mathfrak{a} \setminus \bigcup_{i \ne j} I_i$ が取れ、仮定から $y_j \in I_j$ です。

$n = 1$ なら $y_0 + y_1 \in \mathfrak{a}$ を考えます。$y_0 + y_1 \in I_0$ なら $y_1 \in I_0$、$y_0 + y_1 \in I_1$ なら $y_0 \in I_1$ となり、どちらも矛盾です。$n \ge 2$ なら $z = y_n + y_0y_1\cdots y_{n-1} \in \mathfrak{a}$ を考えます。$i < n$ なら $y_0 \cdots y_{n-1} \in I_i$、$y_n \notin I_i$ なので $z \notin I_i$ です。$\mathfrak{p}_n$ については、$y_n \in \mathfrak{p}_n$ で、$i < n$ の $y_i \notin \mathfrak{p}_n$ と $\mathfrak{p}_n$ が素であることから $y_0 \cdots y_{n-1} \notin \mathfrak{p}_n$ なので、$z \notin \mathfrak{p}_n$ です。$z$ がどの $I_j$ にも入らないのは仮定に反します。

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3. Cohen–Macaulay 環

定義 3.1（Cohen–Macaulay 加群・Cohen–Macaulay 環）↗

1. $(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とする。$\dim M = \dim A/\operatorname{Ann}(M)$ を $M$ の次元という。$\operatorname{depth} M = \dim M$ のとき、$M$ を Cohen–Macaulay 加群（CM 加群）という。$A$ 自身が CM 加群のとき、すなわち $\operatorname{depth} A = \dim A$ のとき、$A$ を Cohen–Macaulay 局所環という。
2. Noether 環 $A$ が Cohen–Macaulay 環であるとは、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ が Cohen–Macaulay 局所環であることをいう。

$\operatorname{depth} M \le \dim M$ はいつでも成り立ちます。実際 $M$ は $A/\operatorname{Ann}(M)$ 上の有限生成加群で、$M$ 正則列であることは $A$ の元として見ても $A/\operatorname{Ann}(M)$ の元として見ても同じ条件なので、命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ を局所環 $A/\operatorname{Ann}(M)$ に使えばよいからです。この章では主に環 $A$ 自身の場合を扱います（加群についても同じ議論が通ります）。

次の不等式は、局所環のイデアルの高さと剰余環の次元の関係です。

補題 3.2（高さと余次元の和）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$J \subseteq \mathfrak{m}$ をイデアルとする。$\operatorname{ht} J + \dim A/J \le \dim A$ である。

証明（補題 3.2）

$A/J$ の素イデアルの鎖は $J$ を含む素イデアルの鎖に対応し（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、鎖の最小の項 $\mathfrak{q}$ について長さは $\dim A/\mathfrak{q}$ 以下です。$\dim A/J \le \dim A < \infty$（定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）なので、$J$ を含む素イデアル $\mathfrak{q}$ で $\dim A/\mathfrak{q} = \dim A/J$ となるものがあります。定義 2.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ から $\operatorname{ht} J \le \operatorname{ht}\mathfrak{q}$ で、命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (3) から $\operatorname{ht}\mathfrak{q} + \dim A/\mathfrak{q} \le \dim A$ です。

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補題 3.3（CM 局所環の随伴素イデアル）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Cohen–Macaulay 局所環とする。すべての $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)$ について $\dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ である。とくに $\operatorname{Ass}(A)$ は $A$ の極小素イデアル全体と一致し、すべての極小素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ である。

証明（補題 3.3）

命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ から $\operatorname{depth} A \le \dim A/\mathfrak{p} \le \dim A$ で、両端が等しいので $\dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ です。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)$ が極小でなければ、素イデアル $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ があり、$A/\mathfrak{p}$ の素イデアルの鎖の先頭に $\mathfrak{q}$ を付けると $\dim A/\mathfrak{q} \ge \dim A/\mathfrak{p} + 1 > \dim A$ となって矛盾します。極小素イデアルは $\operatorname{Ass}(A)$ に属するので（系 3.4［準素分解と随伴素イデアル］）、二つの集合は一致します。

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正則列で割っても CM 性は変わりません。

命題 3.4（正則列で割った環）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{m}$ を正則列、$\bar A = A/(x_1, \ldots, x_r)$ とする。$\dim \bar A = \dim A - r$、$\operatorname{depth} \bar A = \operatorname{depth} A - r$ である。とくに $A$ が CM であることと $\bar A$ が CM であることは同値である。

証明（命題 3.4）

$r$ についての帰納法により $r = 1$ の場合に帰着します。$x = x_1$ は $A$ の零因子でないので、系 6.2［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ から $\dim A/xA = \dim A - 1$、系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $A$ 加群としての深さについて $\operatorname{depth}(A/xA) = \operatorname{depth} A - 1$ です。$A/xA$ 加群 $N$ について、$\mathfrak{m}$ の元の列が $N$ 正則列であることと、その像が $\mathfrak{m}/xA$ の中の $N$ 正則列であることは同じ条件で、延ばせるかどうかも同じなので、$A$ 加群としての深さと局所環 $A/xA$ の深さは一致します。$x_2, \ldots, x_r$ は $A/xA$ の正則列なので帰納法が回ります。

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主定理は、CM 性をパラメータ系（定義 5.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）で言い換えるものです。

この定理のねらいは次のとおりです。CM であるとは「深さと次元が等しい」という間接的な条件ですが、定理により「次元の数だけ元を取れば、どう取っても正則列になる」という確かめやすい形に言い換わります。証明の山場は (a)⇒(b) で、次元についての帰納法です。最初の元 $x_1$ が零因子でないことを 補題 3.3 から示し、$x_1$ で割った環がふたたび CM であることを 命題 3.4 で確かめて、次元を一つ下げます。

定理 3.5（パラメータ系と正則列）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$d = \dim A$ とする。

1. 次は同値である。(a) $A$ は CM である。(b) $A$ のすべてのパラメータ系は正則列である。(c) $A$ のあるパラメータ系は正則列である。
2. $A$ が CM なら、$x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{m}$ について、$x_1, \ldots, x_r$ が正則列であることと $\dim A/(x_1, \ldots, x_r) = d - r$ であることは同値である。

証明（定理 3.5）

(1) (b)⇒(c) はパラメータ系が存在すること（定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）から従います。(c)⇒(a): 長さ $d$ の正則列があるので 系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (1) から $\operatorname{depth} A \ge d$ で、逆向きの不等式は 命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ です。

(a)⇒(b) を $d$ についての帰納法で示します。$d = 0$ ではパラメータ系は空列で、$A \ne 0$ なので正則列です。$d \ge 1$ とし、$x_1, \ldots, x_d$ をパラメータ系とします。命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (2) から $\dim A/x_1A = d - 1$ です。$x_1$ がある $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)$ に属するとすると、$A/\mathfrak{p}$ は $A/x_1A$ の剰余環なので $\dim A/x_1A \ge \dim A/\mathfrak{p} = d$（補題 3.3）となり矛盾します。よって $x_1$ はどの随伴素イデアルにも属さず、定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3) から零因子ではありません。命題 3.4 により $A/x_1A$ は次元 $d - 1$ の CM 局所環です。$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_d)$ とすると $(A/x_1A)/(\mathfrak{q}/x_1A) \cong A/\mathfrak{q}$ は Artin 環なので、補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $x_2, \ldots, x_d$ の像は $A/x_1A$ のパラメータ系です。帰納法の仮定からそれは $A/x_1A$ の正則列で、$x_1, \ldots, x_d$ は $A$ の正則列です（条件 2 は $A/\mathfrak{q} \ne 0$ から）。

(2) ⇒ は 命題 3.4 です。⇐: 命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (2) により $x_{r+1}, \ldots, x_d \in \mathfrak{m}$ を付け加えてパラメータ系にでき、(1) からそれは正則列です。その最初の $r$ 項は、条件 1 をそのまま満たし、$A/(x_1, \ldots, x_r) \ne 0$ なので正則列です。

∎

CM 性は局所化で保たれ、次元の公式 $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ が成り立ちます。後者が次節の鎖状性の要です。

命題 3.6（CM 性の局所化）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Cohen–Macaulay 局所環、$\mathfrak{p}$ を素イデアルとする。

1. $A_{\mathfrak{p}}$ は Cohen–Macaulay 局所環である。
2. $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ である。
3. Noether 環 $B$ が Cohen–Macaulay 環であることと、すべての素イデアル $\mathfrak{P}$ について $B_{\mathfrak{P}}$ が Cohen–Macaulay 局所環であることは同値である。

証明（命題 3.6）

$d = \dim A$、$r = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ とします。命題 4.5［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{p}$ で、各 $i$ について $(x_1, \ldots, x_i)$ の極小素イデアルの高さがすべて $i$ で、$\mathfrak{p}$ が $(x_1, \ldots, x_r)$ の極小素イデアルであるものが取れます。$J = (x_1, \ldots, x_r)$ とすると $\operatorname{ht} J = r$ なので（補題 2.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)）、補題 3.2 から $\dim A/J \le d - r$、命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1) から $\dim A/J \ge d - r$ です。定理 3.5 の (2) により $x_1, \ldots, x_r$ は正則列です。

(1) 局所化は完全なので（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）、$x_i$ 倍が $A/(x_1, \ldots, x_{i-1})$ 上単射であることは $A_{\mathfrak{p}}$ に移しても保たれ、$x_i \in \mathfrak{p}$ なので $A_{\mathfrak{p}}/JA_{\mathfrak{p}} \ne 0$ です。よって $x_1, \ldots, x_r$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の中の $A_{\mathfrak{p}}$ 正則列で、$\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge r = \dim A_{\mathfrak{p}}$（命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)）です。逆向きの不等式と合わせて $A_{\mathfrak{p}}$ は CM です。

(2) 命題 3.4 により $\bar A = A/J$ は次元 $d - r$ の CM 局所環で、$\mathfrak{p}/J$ はその極小素イデアルです。補題 3.3 から $\dim A/\mathfrak{p} = \dim \bar A/(\mathfrak{p}/J) = d - r$ です。

(3) 素イデアル $\mathfrak{P}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{n}$ を取ると、補題 2.1 により $B_{\mathfrak{P}} \cong (B_{\mathfrak{n}})_{\mathfrak{P}B_{\mathfrak{n}}}$ なので、(1) から従います。逆は極大イデアルが素イデアルであることからです。

∎

CM 環を、イデアルの準素分解の言葉で特徴づけるのが Macaulay の非混合定理です。$r$ 個の元で生成される高さ $r$ のイデアル（$r = 0$ では零イデアル）を考えます。

定理 3.7（非混合定理）✓

Noether 環 $A \ne 0$ について次は同値である。

1. $A$ は Cohen–Macaulay 環である。
2. 任意の $r \ge 0$ と、$r$ 個の元で生成される高さ $r$ のイデアル $I \ne A$ について、$\operatorname{Ass}(A/I)$ のすべての元の高さは $r$ である（とくに $I$ の極小素イデアルであり、$A/I$ は埋没素イデアルをもたない）。

証明（定理 3.7）

(1)⇒(2) $I = (x_1, \ldots, x_r)$、$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A/I)$ とし、$B = A_{\mathfrak{p}}$、$J = IB$ とおきます。命題 3.6 の (3) から $B$ は CM 局所環です。$\operatorname{Ass}(A/I) \subseteq \operatorname{Supp}(A/I) = V(I)$（系 3.2［準素分解と随伴素イデアル］、命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)）なので $x_i \in \mathfrak{p}B$ です。$J$ を含む $B$ の素イデアルは $I \subseteq \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ となる $\mathfrak{q}$ の $\mathfrak{q}B$ で（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］）、その高さは $\dim B_{\mathfrak{q}B} = \dim A_{\mathfrak{q}} = \operatorname{ht}\mathfrak{q} \ge r$ です（補題 2.1、命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)）。よって $\operatorname{ht} J \ge r$ で、補題 3.2 と 命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1) から $\dim B/J = \dim B - r$ です。定理 3.5 の (2) から $x_1, \ldots, x_r$ は $B$ 正則列で、命題 3.4 から $B/J$ は次元 $\dim B - r$ の CM 局所環です。$B/J \cong (A/I)_{\mathfrak{p}}$ で、命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］ から $\mathfrak{p}B/J \in \operatorname{Ass}(B/J)$ です。補題 3.3 により $0 = \dim (B/J)/(\mathfrak{p}B/J) = \dim B - r$、すなわち $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim B = r$ です。高さ $r$ の素イデアル $\mathfrak{p} \supseteq I$ は、それに含まれる $I$ の極小素イデアル（高さ $r$ 以上）と一致するので、$I$ の極小素イデアルです。

(2)⇒(1) 極大イデアル $\mathfrak{m}$ を取り、$d = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ とします。命題 4.5［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak{m}$ で、$I_i = (x_1, \ldots, x_i)$ の極小素イデアルの高さがすべて $i$ で、$\mathfrak{m}$ が $I_d$ の極小素イデアルであるものが取れます。$\operatorname{ht} I_i = i$ です。$x_i$ が $A/I_{i-1}$ の零因子でないことを示します。(2) により $\operatorname{Ass}(A/I_{i-1})$ の元 $\mathfrak{q}$ の高さは $i - 1$ で、$\mathfrak{q}$ に含まれる $I_{i-1}$ の極小素イデアル（高さ $i-1$）と一致するので、$\mathfrak{q}$ は $I_{i-1}$ の極小素イデアルです。$x_i \in \mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{q} \supseteq I_i$ で、$\mathfrak{q}$ は $I_i$ の高さ $i$ の極小素イデアルを含むことになり、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} = i - 1$ に反します。よって $x_i$ はどの随伴素イデアルにも属さず、定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3) から $A/I_{i-1}$ の零因子ではありません。局所化は完全なので、$x_1, \ldots, x_d$ は $A_{\mathfrak{m}}$ の正則列（$x_i \in \mathfrak{m}$ から $A_{\mathfrak{m}}/I_dA_{\mathfrak{m}} \ne 0$）で、$\dim A_{\mathfrak{m}} = d$ なので 系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (1) と 命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ から $A_{\mathfrak{m}}$ は CM です。

∎

例 3.8（次元が低い CM 環と CM でない環）

(1) Noether 局所環で次元 $0$ のもの（Artin 局所環）は、$0 \le \operatorname{depth} A \le \dim A = 0$ なので CM です。たとえば $k[x]/(x^n)$ や $k[x, y]/(x, y)^2$ です。

(2) 次元 $1$ の Noether 局所環 $A$ が CM であることは、$\operatorname{depth} A \ge 1$、すなわち $\mathfrak{m} \notin \operatorname{Ass}(A)$ と同値です（補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2)）。とくに次元 $1$ の局所整域は CM で、尖点 $k[x, y]/(y^2 - x^3)$ を原点で局所化した環もそうです。

(3) $k[x, y]/(x^2, xy)$ を $(x, y)$ で局所化した環は、深さ $0$、次元 $1$ なので CM ではありません（例 7.10［Tor・Ext と深さ］）。補題 3.3 に照らすと、埋没素イデアル $\mathfrak{m}$ が $\operatorname{Ass}$ に入っていることが原因です。

(4) 体 $k$ 上の $k[x, y, z]/(xy, xz) = k[x, y, z]/\bigl((x) \cap (y, z)\bigr)$ を原点で局所化した環は、随伴素イデアル $(x)$、$(y, z)$ の剰余環の次元が $2$ と $1$ で異なるので、補題 3.3 から CM ではありません。

次の例のねらいは、深さが次元より小さいことを、正則列を探す代わりに完全列で示すことです。2 枚の平面はそれぞれ多項式環の局所化で、深さ $2$ の CM 環です。ところが 2 枚を原点で貼り合わせた環 $A$ は、貼り合わせ部分の剰余体 $k$（深さ $0$）に引きずられて、深さが $1$ 以下に落ちます。補題 2.5 の (3) が、右端の深さが小さければ左端の深さも小さいことを保証します。

2 枚の平面を原点 1 点で貼り合わせる。実際には 4 次元空間の中にあり、ここでは模式的に描いた。

例 3.9（1 点で交わる 2 平面）

体 $k$ 上の $B = k[x, y, z, w]/I$、$I = (x, y) \cap (z, w) = (xz, xw, yz, yw)$ を原点 $\mathfrak{n} = (x, y, z, w)$ で局所化した環を $A$ とします。随伴素イデアルは $(x, y)$ と $(z, w)$ の像で、剰余環 $k[z, w]$、$k[x, y]$ はどちらも次元 $2$ なので、補題 3.3 の条件は満たされています。それでも $A$ は CM ではありません。$a \mapsto (\bar a, \bar a)$、$(\bar b, \bar c) \mapsto \overline{b - c}$ により完全列

$$0 \to A \to A/(x, y) \oplus A/(z, w) \to A/(x, y, z, w) \to 0$$

ができます（左の単射性は $(x, y) \cap (z, w) = I$ から、中央の完全性は $b - c = u + v$、$u \in (x, y)$、$v \in (z, w)$ なら $a = b - u = c + v$ が $(\bar b, \bar c)$ に写ることから）。$A/(x, y) \cong k[z, w]_{(z, w)}$ では $z, w$ が正則列で $A/(x, y, z, w) = k$ はもう延ばせないので深さ $2$、$A/(z, w)$ も同様で、右端 $k$ の深さは $0$ です。系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (3) から中央の深さは $2$ で、補題 2.5 の (3) から $0 \ge \min\{\operatorname{depth} A - 1, 2\}$、すなわち $\operatorname{depth} A \le 1 < 2 = \dim A$ です。2 枚の平面が 1 点だけで交わると、その点で CM 性が壊れます。

4. 鎖状性と多項式環

Krull 次元と単項イデアル定理 では、体上の有限生成代数が鎖状であることを示し（系 7.5［Krull 次元と単項イデアル定理］）、一般の Noether 環は鎖状とは限らないことを注意しました（注意 7.8［Krull 次元と単項イデアル定理］）。CM 環はいつも鎖状で、しかもその性質は有限生成代数に遺伝します。

定義 4.1（普遍鎖状環）↗

Noether 環 $A$ が普遍鎖状であるとは、すべての有限生成 $A$ 代数が鎖状環（定義 7.3［Krull 次元と単項イデアル定理］）であることをいう。

定理 4.2（CM 環は鎖状）✓

$A$ を Cohen–Macaulay 環とし、$\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ を素イデアルとする。$\mathfrak{p}$ から $\mathfrak{p}'$ への飽和鎖の長さはすべて $\operatorname{ht}\mathfrak{p}' - \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ に等しい。とくに $A$ は鎖状環である。

証明（定理 4.2）

飽和鎖 $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_s = \mathfrak{p}'$ の各段で $\operatorname{ht}\mathfrak{p}_i = \operatorname{ht}\mathfrak{p}_{i-1} + 1$ を示せば、$s = \operatorname{ht}\mathfrak{p}' - \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ です（高さは有限: 系 4.4［Krull 次元と単項イデアル定理］）。$\mathfrak{q} = \mathfrak{p}_{i-1} \subsetneq \mathfrak{q}' = \mathfrak{p}_i$ の間に素イデアルはないとし、$C = A_{\mathfrak{q}'}$ とおきます。命題 3.6 の (3) から $C$ は CM 局所環で、同じ命題の (2) から $\operatorname{ht}(\mathfrak{q}C) + \dim C/\mathfrak{q}C = \dim C$ です。$C/\mathfrak{q}C$ の素イデアルは $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{r} \subseteq \mathfrak{q}'$ となる $\mathfrak{r}$ に対応し（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、それは $\mathfrak{q}, \mathfrak{q}'$ だけなので $\dim C/\mathfrak{q}C = 1$ です。$\dim C = \operatorname{ht}\mathfrak{q}'$、$\operatorname{ht}(\mathfrak{q}C) = \dim A_{\mathfrak{q}} = \operatorname{ht}\mathfrak{q}$（補題 2.1、命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)）なので、$\operatorname{ht}\mathfrak{q}' = \operatorname{ht}\mathfrak{q} + 1$ です。

∎

定理 4.3（CM 環上の多項式環）✓

$A$ が Cohen–Macaulay 環なら、多項式環 $A[x]$ も Cohen–Macaulay 環である。

証明（定理 4.3）

$A[x]$ は Noether です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。$A[x]$ の素イデアル $P$ について $B = A[x]_P$ が CM であることを示します。$\mathfrak{p} = P \cap A$、$S = A \setminus \mathfrak{p}$ とおくと、$S \subseteq A[x] \setminus P$ なので 補題 2.1 により $B \cong (S^{-1}A[x])_{S^{-1}P}$ で、$S^{-1}A[x] = A_{\mathfrak{p}}[x]$、$S^{-1}P \cap A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ です（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。命題 3.6 の (3) から $A_{\mathfrak{p}}$ は CM なので、はじめから $(A, \mathfrak{m})$ は CM 局所環で $P \cap A = \mathfrak{m}$ としてかまいません。$d = \dim A$ とします。

定理 3.5 により、パラメータ系 $x_1, \ldots, x_d$ は $A$ の正則列です。$A[x]/(x_1, \ldots, x_i)A[x] \cong \bigl(A/(x_1, \ldots, x_i)\bigr)[x]$ で、$x_{i+1}$ 倍は係数ごとに働くので単射です。局所化は完全なので（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）、$x_1, \ldots, x_d$ は $B$ の正則列です（$x_i \in P$ なので剰余は $0$ でない）。

$P = \mathfrak{m}[x]$ のときは、定理 6.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (2) から $\dim B = \operatorname{ht} P = \operatorname{ht}\mathfrak{m} = d$ なので、$\operatorname{depth} B \ge d = \dim B$ です。

$P \ne \mathfrak{m}[x]$ のときは $\dim B = \operatorname{ht} P = d + 1$ です（同じ定理の (2)）。$P \supseteq \mathfrak{m}[x]$ で、$P/\mathfrak{m}[x]$ は $A[x]/\mathfrak{m}[x] \cong k[x]$ の $0$ でない素イデアルなので、モニックな既約多項式 $f$ で生成されます。$f$ の係数を $A$ に持ち上げたモニック多項式 $F$ は $P$ に属します。$\bar A = A/(x_1, \ldots, x_d)$ とすると、モニック多項式 $F$ は $\bar A[x]$ の零因子ではありません（$g \ne 0$ の最高次の係数を $c$ とすると $Fg$ の最高次の係数は $c \ne 0$）。局所化して、$x_1, \ldots, x_d, F$ は長さ $d + 1$ の $B$ 正則列です。どちらの場合も 系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (1) と 命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ から $\operatorname{depth} B = \dim B$ です。

∎

系 4.4（CM 環は普遍鎖状）✓

Cohen–Macaulay 環は普遍鎖状である。

証明（系 4.4）

$A$ を CM 環、$B$ を有限生成 $A$ 代数とすると、全射 $A[x_1, \ldots, x_n] \to B$ があり、$B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/I$ です。定理 4.3 を $n$ 回使うと $A[x_1, \ldots, x_n]$ は CM で、定理 4.2 から鎖状です。$B$ の素イデアルの飽和鎖は、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $I$ を含む素イデアルの飽和鎖と長さを保って対応するので（間に入る素イデアルも $I$ を含む）、$B$ も鎖状です。

∎

体、$\mathbb{Z}$、Dedekind 環（次元 $\le 1$ の整域なので 例 3.8 の (2) により局所化がすべて CM）は CM なので、それらの上の有限生成代数はすべて鎖状です。体の場合は 系 7.5［Krull 次元と単項イデアル定理］ の別証明になっています。

5. 重複度による判定

次数環と Hilbert–Samuel 多項式 では、$\mathfrak{m}$ 準素イデアル $\mathfrak{q}$ に関する重複度 $e(\mathfrak{q})$ を定義しました（定義 5.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。パラメータ系で生成されるイデアル（パラメータイデアル）については、$e(\mathfrak{q})$ と $\ell(A/\mathfrak{q})$ の比較で CM 性が判定できます。鍵は随伴次数環 $\operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A)$（べき $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ を次数 $n$ の部分として並べた環）の形です。

Noether 環 $A$ のイデアル $\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_d)$ について、命題 2.6［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ の (1) により、$X_i \mapsto x_i + \mathfrak{q}^2$ で定まる次数を保つ全射環準同型

$$\varphi_{\mathfrak{q}}\colon (A/\mathfrak{q})[X_1, \ldots, X_d] \to \operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A)$$

があります。$n$ 次の部分では、$A$ 係数の $n$ 次斉次多項式 $F$ の係数の剰余を $F(x) + \mathfrak{q}^{n+1}$ に写す写像です。$\varphi_{\mathfrak{q}}$ が単射であることは、「$n$ 次斉次の $F \in A[X]$ について $F(x) \in \mathfrak{q}^{n+1}$ なら $F$ の係数はすべて $\mathfrak{q}$ に属する」ことと同値です。

次の補題のねらいは、「$x_1, \ldots, x_d$ が正則列」という列についての条件を、「$\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型」、すなわち「$\operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A)$ が $A/\mathfrak{q}$ 上の多項式環そのもの」という形に言い換えることです。生成元の間に、自明でない関係式がないということです。(1) の証明は $d$ についての帰納法で、段階 1 で最後の元 $y = x_d$ が $A/\mathfrak{q}'^n$ でも零因子でないことを確かめ、段階 2 でそれを使って、関係式の係数が $\mathfrak{q}$ に入ることを示します。

補題 5.1（正則列と随伴次数環）✓

$A$ を Noether 環、$x_1, \ldots, x_d \in A$、$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_d)$ とする。

1. $x_1, \ldots, x_d$ が正則列なら、$\varphi_{\mathfrak{q}}$ は同型である。
2. $(A, \mathfrak{m})$ が Noether 局所環で $x_i \in \mathfrak{m}$ のとき、$\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型なら、$x_1, \ldots, x_d$ は正則列である。

証明（補題 5.1）

(1) $d$ についての帰納法で、長さ $d$ の正則列について示します。まず次の形に言い換えます: (＊) $n$ 次斉次の $F \in A[X]$ が $F(x) = 0$ を満たせば、$F$ の係数はすべて $\mathfrak{q}$ に属する。実際 $F(x) \in \mathfrak{q}^{n+1} = \mathfrak{q}^n\mathfrak{q}$ なら、$n+1$ 次斉次の $G = \sum_i X_iG_i$（$G_i$ は $n$ 次斉次）で $F(x) = G(x)$ と書け、$F - \sum_i x_iG_i$ は $x$ で消え、係数は $F$ の係数と $\mathfrak{q}$ を法として等しいからです。

$d = 1$ では $F = aX^n$、$ax_1^n = 0$ から（$x_1$ は零因子でない）$a = 0$ です。$d \ge 2$ とし、$\mathfrak{q}' = (x_1, \ldots, x_{d-1})$、$y = x_d$ とします。帰納法の仮定から $\varphi_{\mathfrak{q}'}$ は同型です。

段階 1: $y$ はすべての $n \ge 1$ で $A/\mathfrak{q}'^n$ の零因子でない。 $n = 1$ は正則列の条件です。$n$ で正しいとし、$ya \in \mathfrak{q}'^{n+1}$ とします。$ya \in \mathfrak{q}'^n$ なので $a \in \mathfrak{q}'^n$ です。$\varphi_{\mathfrak{q}'}$ により $\mathfrak{q}'^n/\mathfrak{q}'^{n+1}$ は $(A/\mathfrak{q}')[X_1, \ldots, X_{d-1}]$ の $n$ 次部分、すなわち $A/\mathfrak{q}'$ 上の自由加群と同型で、$y$ はその上で係数ごとに働くので単射です。$a$ の類は $y$ 倍で $0$ になるので $a \in \mathfrak{q}'^{n+1}$ です。

段階 2: (＊) を $n$ についての帰納法で示す。 $n = 0$ では $F = a = F(x) = 0$ です。$n \ge 1$ とし、$F = F_1(X_1, \ldots, X_{d-1}) + X_dH$（$F_1$ は $n$ 次斉次、$H$ は $n-1$ 次斉次）と書きます。$yH(x) = -F_1(x) \in \mathfrak{q}'^n$ なので、段階 1 から $H(x) \in \mathfrak{q}'^n$ で、$n$ 次斉次の $K = \sum_{i<d} X_iK_i \in A[X_1, \ldots, X_{d-1}]$ で $H(x) = K(x)$ と書けます。$H - \sum_{i<d} x_iK_i$ は $n-1$ 次斉次で $x$ で消えるので、$n$ についての帰納法の仮定から係数は $\mathfrak{q}$ に属し、$H$ の係数も $\mathfrak{q}$ に属します。他方 $F_1 + yK$ は $X_1, \ldots, X_{d-1}$ の $n$ 次斉次式で、$F_1(x) + yK(x) = F_1(x) + yH(x) = 0$ です。$x_1, \ldots, x_{d-1}$ は長さ $d-1$ の正則列なので、$d$ についての帰納法の仮定の (＊) から $F_1 + yK$ の係数は $\mathfrak{q}'$ に属し、$F_1$ の係数は $\mathfrak{q}' + yA = \mathfrak{q}$ に属します。よって $F$ の係数はすべて $\mathfrak{q}$ に属します。

(2) $d$ についての帰納法です。$d = 0$ では空列で $A \ne 0$ です。$d \ge 1$ とし、$R = A/\mathfrak{q}$ とおきます。系 5.2［完備化と Artin–Rees の補題］ の (1) から $\bigcap_n \mathfrak{q}^n = 0$ です。

$x_1$ について。 $n \ge 1$ で $\mathfrak{q}^n : x_1 = \mathfrak{q}^{n-1}$ を示します（$n = 1$ では $\mathfrak{q}^0 = A$）。$x_1a \in \mathfrak{q}^n$ で $a \notin \mathfrak{q}^{n-1}$ とすると、$a \ne 0$ なので $a \in \mathfrak{q}^j \setminus \mathfrak{q}^{j+1}$ となる $j < n - 1$ があります。$a$ の類は $\varphi_{\mathfrak{q}}$ により $0$ でない $j$ 次斉次の $\bar F \in R[X]$ の像で、$x_1a \in \mathfrak{q}^{j+2}$ なので $X_1\bar F$ は $\mathfrak{q}^{j+1}/\mathfrak{q}^{j+2}$ で $0$ に写ります。$\varphi_{\mathfrak{q}}$ は単射なので $X_1\bar F = 0$ ですが、$X_1$ 倍は $R[X]$ 上単射なので $\bar F = 0$ となり矛盾です。$n \to \infty$ の極限として、$x_1a = 0$ なら $a \in \bigcap_n \mathfrak{q}^n = 0$ で、$x_1$ は零因子ではありません。

$A/x_1A$ へ。 $\mathfrak{q}^n \cap x_1A = x_1(\mathfrak{q}^n : x_1) = x_1\mathfrak{q}^{n-1}$ です。$\bar A = A/x_1A$、$\bar{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}/x_1A$ とおくと

$$\bar{\mathfrak{q}}^n/\bar{\mathfrak{q}}^{n+1} = (\mathfrak{q}^n + x_1A)/(\mathfrak{q}^{n+1} + x_1A) \cong \mathfrak{q}^n/(\mathfrak{q}^{n+1} + x_1\mathfrak{q}^{n-1})$$

で、$\varphi_{\mathfrak{q}}$ のもとで右辺は $R[X]_n/X_1R[X]_{n-1} \cong R[X_2, \ldots, X_d]_n$ と同型です。$\bar A/\bar{\mathfrak{q}} = R$ なので、$\varphi_{\bar{\mathfrak{q}}}\colon R[X_2, \ldots, X_d] \to \operatorname{gr}_{\bar{\mathfrak{q}}}(\bar A)$ は各次数で同型です。帰納法の仮定から $x_2, \ldots, x_d$ は $\bar A$ の正則列で、$x_1, \ldots, x_d$ は $A$ の正則列です。

∎

数え上げのため、$d$ 変数の $n$ 次単項式の個数を $N_d(n)$ と書きます（$n < 0$ では $0$）。単項式 $X^\alpha$ は $\alpha_1 + \cdots + \alpha_d = n$ となる $\alpha$ と一対一に対応するので、$N_d(n)$ は $\bigl(\sum_j t^j\bigr)^d = (1-t)^{-d}$ の $t^n$ の係数で、補題 4.3［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ から $N_d(n) = \binom{n+d-1}{d-1}$ です。さらに $\sum_{j<n} N_d(j)$ は $(1-t)^{-d}\sum_j t^j = (1-t)^{-(d+1)}$ の $t^{n-1}$ の係数なので、同じ補題から $n \ge 1$ で

$$\sum_{j=0}^{n-1} N_d(j) = \binom{n+d-1}{d}$$

です。右辺は $n$ の多項式 $\binom{X+d-1}{d} = (X+d-1)(X+d-2)\cdots X/d!$ の値で（補題 3.2［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ の (1)）、次数 $d$、最高次の係数 $1/d!$ です。

次の定理のねらいは次のとおりです。$\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型なら、$\ell(A/\mathfrak{q}^n)$ は上の数え上げの $\ell$ 倍にちょうどなり、同型でなければ核の分だけ小さくなります。定理はこの違いを最高次の係数で捉え、$e(\mathfrak{q}) \le \ell(A/\mathfrak{q})$ と、等号が $\varphi_{\mathfrak{q}}$ の同型と同値であることを示します。(2) の逆向きの証明では、核が $0$ でなければ $\mathfrak{m}_R$ で零化される斉次元が取れ、それが最高次の係数を少なくとも $1/d!$ だけ減らすことを使います。

定理 5.2（パラメータイデアルの重複度と CM 性）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$d = \dim A$、$x_1, \ldots, x_d$ をパラメータ系、$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_d)$ とする。

1. $e(\mathfrak{q}) \le \ell_A(A/\mathfrak{q})$ である。
2. 等号 $e(\mathfrak{q}) = \ell_A(A/\mathfrak{q})$ が成り立つことと、$\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型であることは同値である。
3. 等号 $e(\mathfrak{q}) = \ell_A(A/\mathfrak{q})$ が成り立つことと、$x_1, \ldots, x_d$ が正則列であること、$A$ が Cohen–Macaulay であることは同値である。

証明（定理 5.2）

$R = A/\mathfrak{q}$ は Artin 局所環（補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）で、極大イデアルを $\mathfrak{m}_R$、剰余体を $k$ とします。$R$ 加群の長さは $A$ 加群としての長さに等しく（補題 2.7［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）、$\ell = \ell(R)$ と書きます。

$d = 0$ のときは $\mathfrak{q} = 0$ で、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A) = A$（$0$ 次）、$\varphi_{\mathfrak{q}}$ は恒等写像、$n \ge 1$ で $\ell(A/\mathfrak{q}^n) = \ell(A) = \ell$ なので $e(\mathfrak{q}) = \ell$ で、$0 \le \operatorname{depth} A \le \dim A = 0$（命題 7.9［Tor・Ext と深さ］）から $A$ は CM、空列は正則列です。以下 $d \ge 1$ とします。

長さの評価。 $\varphi_{\mathfrak{q}}$ は次数を保つので、その核 $\mathcal{K}$ は斉次イデアルで（$F \in \mathcal{K}$ の各斉次成分は $\operatorname{gr}$ の各次数の $0$ に写る）、$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1} \cong R[X]_n/\mathcal{K}_n$ です。$R[X]_n \cong R^{N_d(n)}$ なので長さの加法性（命題 5.5［Noether 環と Artin 環］）から

$$\ell(A/\mathfrak{q}^n) = \sum_{j=0}^{n-1} \ell(\mathfrak{q}^j/\mathfrak{q}^{j+1}) = \ell\binom{n+d-1}{d} - \sum_{j=0}^{n-1} \ell(\mathcal{K}_j)$$

です。定理 6.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ により $d(A) = d$ なので、大きい $n$ で左辺は次数 $d$、最高次の係数 $e(\mathfrak{q})/d!$ の多項式 $\chi^{\mathfrak{q}}_A(n)$ に等しくなります（定義 5.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。

(1) $\ell\binom{n+d-1}{d} - \chi^{\mathfrak{q}}_A(n) \ge 0$ が大きい $n$ で成り立つので、この差の多項式は $0$ であるか、補題 3.3［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ の (1) により最高次の係数が正です。どちらの場合も $X^d$ の係数を比べて $\ell/d! - e(\mathfrak{q})/d! \ge 0$ です。

(2) $\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型なら $\mathcal{K} = 0$ で、大きい $n$ で $\chi^{\mathfrak{q}}_A(n) = \ell\binom{n+d-1}{d}$ なので $e(\mathfrak{q}) = \ell$ です。逆に $\mathcal{K} \ne 0$ とし、$0$ でない $s$ 次斉次の $G_0 \in \mathcal{K}$ を取ります。$\mathfrak{m}_R$ は冪零なので（命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）、$\mathfrak{m}_R^tG_0 \ne 0$ となる最大の $t$ があり、$c \in \mathfrak{m}_R^t$ を $G = cG_0 \ne 0$ となるように取れます。$G \in \mathcal{K}$ で、$\mathfrak{m}_RG = 0$ です。$G$ の係数は $V = \{ v \in R : \mathfrak{m}_Rv = 0 \}$ に属し、$V$ は有限次元 $k$ ベクトル空間です。その基底 $v_1, \ldots, v_r$ を取ると $G = \sum_i v_iG_i$（$G_i \in k[X]$ は $s$ 次斉次、どれかは $0$ でない）と書けます。$h \in R[X]$ の $k[X]$ での像を $\bar h$ とすると $Gh = \sum_i v_iG_i\bar h$ で、$k[X]$ は整域なので（定理 6.2［環と体の基礎］）、$\bar h \ne 0$ なら $Gh \ne 0$ です。よって $j \ge s$ について $\bar h \mapsto Gh$ は $k[X]_{j-s}$ から $GR[X]_{j-s} \subseteq \mathcal{K}_j$ への全単射 $k$ 線形写像で、$GR[X]_{j-s}$ は $\mathfrak{m}_R$ で零化されるので、命題 5.6［Noether 環と Artin 環］ から $\ell(\mathcal{K}_j) \ge N_d(j - s)$ です。したがって $n \ge s + 1$ で

$$\chi^{\mathfrak{q}}_A(n) \le \ell\binom{n+d-1}{d} - \sum_{j=s}^{n-1} N_d(j - s) = \ell\binom{n+d-1}{d} - \binom{n-s+d-1}{d}$$

で、右辺は次数 $d$、最高次の係数 $(\ell - 1)/d!$ の多項式の値です。(1) と同じ比較で $e(\mathfrak{q}) \le \ell - 1$ となり、等号は成り立ちません。

(3) (2) と 補題 5.1 から、等号 $\iff$ $\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型 $\iff$ $x_1, \ldots, x_d$ が正則列です。最後の同値は 定理 3.5 の (1) です。

∎

注意 5.3

定理 5.2 は、CM 性が「長さ」という数値で検査できることを示しています。$\ell(A/\mathfrak{q})$ は一つのイデアルで割った剰余環の大きさ、$e(\mathfrak{q})$ は $\mathfrak{q}^n$ で割った剰余環の漸近的な大きさで、CM 環ではこの二つが一致します。次数環と Hilbert–Samuel 多項式 の演習で計算した正則局所環 $k[x, y]_{(x, y)}$ と $\mathfrak{q} = (x^2, y^3)$ での $e(\mathfrak{q}) = 6 = \ell(A/\mathfrak{q})$ はその一例です（正則局所環が CM であることは次節で示します）。

6. 正則局所環

定義 6.1（埋め込み次元・正則局所環・正則環）↗

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。

1. $\operatorname{edim} A = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を $A$ の埋め込み次元という。系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により、これは $\mathfrak{m}$ の極小生成系の元の個数である。
2. $\dim A = \operatorname{edim} A$ のとき、$A$ を正則局所環という。このとき $\mathfrak{m}$ を生成する $\dim A$ 個の元を正則パラメータ系という（$\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}$ 準素なので、これはパラメータ系である）。
3. Noether 環 $A$ が正則環であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が正則局所環であることをいう。

定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ によりいつでも $\dim A \le \operatorname{edim} A$ で、正則局所環は「極大イデアルが次元の数だけの元で生成される」という最も経済的な局所環です。次元 $0$ の正則局所環は $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 0$、すなわち 定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) により $\mathfrak{m} = 0$ なので体です。次元 $1$ の正則局所整域は DVR です（定理 3.4［離散付値環と Dedekind 環］ の (4)⇒(1)）。

$\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_e)$（$e = \operatorname{edim} A$、極小生成系）とすると、補題 5.1 の前で述べた全射 $\varphi_{\mathfrak{m}}\colon k[X_1, \ldots, X_e] \to \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ があります。正則性はこれが同型であることと同値です。

定理 6.2（正則性と随伴次数環）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$e = \operatorname{edim} A$、$\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_e)$ とする。$A$ が正則であることと、$\varphi_{\mathfrak{m}}\colon k[X_1, \ldots, X_e] \to \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ が同型であることは同値である。このとき $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ は $k$ 上の $\dim A$ 変数の多項式環で、重複度は $e(A) = 1$ である。

証明（定理 6.2）

⇒: $A$ が正則なら $e = \dim A$ で、$x_1, \ldots, x_e$ はパラメータ系です。定理 5.2 の (1) で $\mathfrak{q} = \mathfrak{m}$ とすると $e(\mathfrak{m}) \le \ell(A/\mathfrak{m}) = 1$ で、命題 5.6［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ の (1) から $e(\mathfrak{m}) \ge 1$ です。等号が成り立つので、同じ定理の (2) から $\varphi_{\mathfrak{m}}$ は同型です。$e(A) = e(\mathfrak{m}) = 1$ もわかりました。

⇐: $\varphi_{\mathfrak{m}}$ が同型なら、$\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ は $k$ 上 $N_e(j)$ 次元で、命題 5.6［Noether 環と Artin 環］ と長さの加法性から、$n \ge 1$ で $\ell(A/\mathfrak{m}^n) = \sum_{j<n} N_e(j) = \binom{n+e-1}{e}$ です（$e = 0$ でも両辺 $1$）。これは次数 $e$ の多項式の値なので $d(A) = e$ で、定理 6.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ から $\dim A = d(A) = e$ です。

∎

定理 6.3（正則局所環は整域）✓

正則局所環は整域である。

証明（定理 6.3）

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を正則局所環とすると、定理 6.2 により $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ は体上の多項式環と同型なので整域です（定理 6.2［環と体の基礎］）。$a, b \in A$ を $0$ でない元とします。系 5.2［完備化と Artin–Rees の補題］ の (1) から $\bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0$ なので、$a \in \mathfrak{m}^i \setminus \mathfrak{m}^{i+1}$、$b \in \mathfrak{m}^j \setminus \mathfrak{m}^{j+1}$ となる $i, j$ があります。$a$、$b$ の類 $a^* \in \mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}$、$b^* \in \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ は $0$ でなく、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ での積 $a^*b^*$ は $ab$ の $\mathfrak{m}^{i+j}/\mathfrak{m}^{i+j+1}$ での類です（定義 2.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。整域なので $a^*b^* \ne 0$、すなわち $ab \notin \mathfrak{m}^{i+j+1}$ で、とくに $ab \ne 0$ です。

∎

命題 6.4（正則局所環の剰余）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$d = \dim A$、$x \in \mathfrak{m}$ とする。

1. $A$ が正則で $x \notin \mathfrak{m}^2$ なら、$x$ は $A$ の零因子でなく、$A/xA$ は次元 $d - 1$ の正則局所環である。
2. 逆に $x$ が $A$ の零因子でなく $A/xA$ が正則なら、$A$ は正則で $x \notin \mathfrak{m}^2$ である。

証明（命題 6.4）

$\bar{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}/xA$ について $\bar{\mathfrak{m}}/\bar{\mathfrak{m}}^2 \cong \mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2 + xA)$ は、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を $x$ の像 $\bar x$ が張る部分空間で割ったものです。よって $\operatorname{edim}(A/xA)$ は $x \notin \mathfrak{m}^2$ なら $\operatorname{edim} A - 1$、$x \in \mathfrak{m}^2$ なら $\operatorname{edim} A$ です。

(1) $\bar x \ne 0$ を $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底 $\bar x, \bar x_2, \ldots, \bar x_d$ に延ばすと、定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (3) から $x, x_2, \ldots, x_d$ は $\mathfrak{m}$ を生成し、パラメータ系です。命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (2) から $\dim A/xA = d - 1 = \operatorname{edim}(A/xA)$ で、$A/xA$ は正則です。定理 6.3 により $A$ は整域で、$x \ne 0$ なので零因子ではありません。

(2) 系 6.2［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ から $\dim A/xA = d - 1$ です。$\operatorname{edim} A - 1 \le \operatorname{edim}(A/xA) = d - 1$ と 定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ から $\operatorname{edim} A = d$ で、$A$ は正則です。$x \in \mathfrak{m}^2$ なら $\operatorname{edim}(A/xA) = \operatorname{edim} A = d \ne d - 1$ となり矛盾します。

∎

系 6.5（正則局所環は CM）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を正則局所環、$x_1, \ldots, x_d$ を正則パラメータ系とする。$x_1, \ldots, x_d$ は正則列で、各 $r$ について $A/(x_1, \ldots, x_r)$ は次元 $d - r$ の正則局所環である。とくに $A$ は Cohen–Macaulay である。

証明（系 6.5）

$d$ についての帰納法です。$d = 0$ なら空列です。$d \ge 1$ なら、$\bar x_1, \ldots, \bar x_d$ は $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底なので（系 3.6［加群・完全列・中山の補題］）$x_1 \notin \mathfrak{m}^2$ で、命題 6.4 の (1) から $x_1$ は零因子でなく、$A/x_1A$ は次元 $d - 1$ の正則局所環で、$x_2, \ldots, x_d$ の像はその正則パラメータ系です。帰納法の仮定を使えば $x_1, \ldots, x_d$ は正則列で（$A/\mathfrak{m} \ne 0$）、長さ $d = \dim A$ の正則列なので 定理 3.5 の (1) から $A$ は CM です。

∎

正則局所環を正則列で割ると、正則とは限りませんが CM な環が得られます。

定義 6.6（完全交叉・超曲面）↗

Noether 局所環 $A$ が、正則局所環 $(R, \mathfrak{m}_R)$ とその正則列 $f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak{m}_R$ によって $A \cong R/(f_1, \ldots, f_r)$ と表されるとき、$A$ を完全交叉（complete intersection）局所環という。$r \le 1$ に取れるとき超曲面局所環という。

命題 6.7（完全交叉は CM）✓

完全交叉局所環 $A \cong R/(f_1, \ldots, f_r)$ は Cohen–Macaulay で、$\dim A = \dim R - r$ である。

証明（命題 6.7）

系 6.5 から $R$ は CM で、命題 3.4 から $R/(f_1, \ldots, f_r)$ は次元 $\dim R - r$ の CM 局所環です。

∎

注意 6.8

一般の Noether 局所環に対する完全交叉の定義は、完備化 $\widehat A$ が完備正則局所環を正則列で割った形に書けることとします。この記事の定義は、はじめから正則局所環の剰余環として与えられた環（体上の有限生成代数の局所化など）に限った形です。正則局所環の剰余環 $R/I$ については、二つの定義が一致することが知られています（H. Matsumura, Commutative Ring Theory, §21）。この記事では一般の定義を使いません。

例 6.9（尖点：CM だが正則でない）

体 $k$ 上の $R = k[x, y]_{(x, y)}$ は正則局所環です。実際 例 8.4［Tor・Ext と深さ］ のとおり $x, y$ は $R$ の正則列なので $\dim R \ge \operatorname{depth} R \ge 2$（命題 7.9［Tor・Ext と深さ］）、他方 $\operatorname{edim} R \le 2$ なので、定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ から $\dim R = \operatorname{edim} R = 2$ です。$f = y^2 - x^3$ は整域 $R$ の $0$ でない元なので正則列をなし、$A = R/(f)$ は次元 $1$ の超曲面で、命題 6.7 から CM です。しかし $f \in \mathfrak{m}_R^2$ なので $\operatorname{edim} A = 2 > 1 = \dim A$ で、$A$ は正則ではありません（命題 6.4 の (2) からもわかります）。$A$ の重複度は $2$ で（例 5.7［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）、定理 6.2 の $e(A) = 1$ と食い違うことも正則でないことを示しています。

例 6.10（k[s⁴, s³t, st³, t⁴]）

体 $k$ 上の $B = k[a, b, c, d] \subseteq k[s, t]$、$a = s^4$、$b = s^3t$、$c = st^3$、$d = t^4$ を、$\mathfrak{n} = (a, b, c, d)$ で局所化した環を $A$ とします。$b^4 = a^3d$、$c^4 = ad^3$ なので $B$ は $k[a, d]$ 上整で、$\dim A = 2$、$a, d$ はパラメータ系です（$A/(a, d)$ は $b, c$ の有限個の単項式で張られる）。

$a$ は整域 $A$ の $0$ でない元なので零因子ではありません。$b^2d = s^6t^6 = ac^2$ なので $d$ は $A/aA$ で $\bar b^2$ を零化します。$b^2 \notin aA$ を確かめます。$gb^2 = af$（$f \in B$、$g \in B \setminus \mathfrak{n}$）とすると、$B$ は $s, t$ の次数で次数付けられ、$g$ の $0$ 次の成分 $g_0$ は $0$ でない定数です。両辺の $8$ 次の成分を比べると $g_0s^6t^2 = s^4f_4$（$f_4$ は $f$ の $4$ 次の成分で、$s^4, s^3t, st^3, t^4$ の一次結合）となり、$s^2t^2 = f_4/g_0$ がこれらの一次結合になって矛盾です。よってパラメータ系 $a, d$ は正則列でなく、定理 3.5 から $A$ は CM ではありません。また $u = s^2t^2 = b^2/a$ は $A$ の商体に属し、$u^2 = ad$ を満たすので $A$ 上整ですが、上と同じ次数の比較で $A$ に属しません。したがって $A$ は正規でもありません。

7. Serre の正則性定理

正則性を、剰余体の射影次元というホモロジー代数の量で特徴づけます。

定理 7.1（Serre の正則性定理）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。次は同値である。

1. $A$ は正則局所環である。
2. $\operatorname{gldim} A < \infty$ である。
3. $\operatorname{pd}_A k < \infty$ である。

このとき $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd}_A k = \dim A = \operatorname{depth} A$ である。

証明（定理 7.1）

(2)⇔(3) は 系 6.5［Tor・Ext と深さ］ です。

(1)⇒(2) $d = \dim A$ とし、正則パラメータ系 $x_1, \ldots, x_d$ を取ると、系 6.5 によりそれは正則列で、$\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_d)$ です。命題 2.6 から $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd} k = d$ です。CM なので $\operatorname{depth} A = d$ でもあります。

(3)⇒(1) $e = \operatorname{edim} A$ についての帰納法で示します。$e = 0$ なら $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}^2$ で、定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $\mathfrak{m} = 0$、$A$ は体で正則です。$e \ge 1$ とします。

段階 1: $\mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2$ に零因子でない元がある。 定理 9.1［Tor・Ext と深さ］ を $M = k$ に使うと、$\operatorname{depth} k = 0$（$\mathfrak{m}$ のどの元も $k$ を零化する）なので $\operatorname{pd} k = \operatorname{depth} A$ です。$\operatorname{pd} k = 0$ なら $k$ は射影的、したがって自由で（定理 5.2［Tor・Ext と深さ］）、$\mathfrak{m}$ は自由加群 $k \ne 0$ を零化するので $\mathfrak{m} = 0$ となり $e \ge 1$ に反します。よって $\operatorname{depth} A \ge 1$ で、補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $\mathfrak{m}$ はどの $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)$ にも含まれません。$\mathfrak{m} \ne \mathfrak{m}^2$ でもあるので、補題 2.7 と $\operatorname{Ass}(A)$ の有限性（系 3.2［準素分解と随伴素イデアル］）から $\mathfrak{m} \not\subseteq \mathfrak{m}^2 \cup \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)} \mathfrak{p}$ です。この外にある $x \in \mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}^2$ に入らず、定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3) から零因子ではありません。

段階 2: $\mathfrak{m}/x\mathfrak{m}$ の直和分解。 $A' = A/xA$、$\mathfrak{m}' = \mathfrak{m}/xA$ とおきます。$\bar x \ne 0$ を $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底 $\bar x, \bar x_2, \ldots, \bar x_e$ に延ばし、$J = (x_2, \ldots, x_e) + x\mathfrak{m}$ とおきます。定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (3) から $\mathfrak{m} = J + xA$ です。$J \cap xA = x\mathfrak{m}$ を示します。$\supseteq$ は定義からです。$ax \in J$ とし $ax = \sum_{i \ge 2} b_ix_i + xc$（$c \in \mathfrak{m}$）と書くと $(a - c)x = \sum_{i \ge 2} b_ix_i$ で、$a \notin \mathfrak{m}$ なら $a - c$ は単元となり $\bar x$ が $\bar x_2, \ldots, \bar x_e$ の一次結合になって矛盾です。よって $a \in \mathfrak{m}$、$ax \in x\mathfrak{m}$ です。したがって $A'$ 加群として

$$\mathfrak{m}/x\mathfrak{m} = J/x\mathfrak{m} \oplus xA/x\mathfrak{m}, \qquad J/x\mathfrak{m} \cong (J + xA)/xA = \mathfrak{m}'$$

です（後者は 補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の同型定理）。

段階 3: $\operatorname{pd}_{A'} k < \infty$。 $0 \to \mathfrak{m} \to A \to k \to 0$ に 補題 4.4［Tor・Ext と深さ］ の (1) を使うと、$i \ge 1$ で $\operatorname{Ext}^i(\mathfrak{m}, N) \cong \operatorname{Ext}^{i+1}(k, N)$ なので、補題 6.2［Tor・Ext と深さ］ から $\operatorname{pd}_A \mathfrak{m} < \infty$ です。$x$ は $A$ と（その部分加群）$\mathfrak{m}$ の零因子でないので、補題 2.4 から $\operatorname{pd}_{A'}(\mathfrak{m}/x\mathfrak{m}) < \infty$、補題 2.3 と段階 2 から $\operatorname{pd}_{A'}\mathfrak{m}' < \infty$ です。$0 \to \mathfrak{m}' \to A' \to k \to 0$ に再び 補題 4.4［Tor・Ext と深さ］ の (1) と 補題 6.2［Tor・Ext と深さ］ を使うと（$\mathfrak{m}' = 0$ なら $k = A'$ は自由）、$\operatorname{pd}_{A'} k < \infty$ です。

段階 4: 帰納法。 命題 6.4 の証明の最初に見たとおり $\operatorname{edim} A' = e - 1$ です。帰納法の仮定から $A'$ は正則で、$x$ は $A$ の零因子でないので、命題 6.4 の (2) から $A$ は正則です。等式は (1)⇒(2) の証明で示しました。

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この定理の威力は、正則性という「局所環ごとの数え上げ」の条件が、局所化と相性のよい条件に置き換わることにあります。

系 7.2（正則局所環の局所化）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を正則局所環、$\mathfrak{p}$ を素イデアルとすると、$A_{\mathfrak{p}}$ は正則局所環である。とくに Noether 環 $B$ が正則環であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak{n}$ で $B_{\mathfrak{n}}$ が正則局所環であることは同値である。

証明（系 7.2）

定理 7.1 から $\operatorname{gldim} A < \infty$ なので $\operatorname{pd}_A(A/\mathfrak{p}) < \infty$ で、補題 2.2 の (1) から $\operatorname{pd}_{A_{\mathfrak{p}}}(A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}} < \infty$ です。命題 3.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $(A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}} \cong A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の剰余体なので、再び 定理 7.1 から $A_{\mathfrak{p}}$ は正則です。後半は、素イデアル $\mathfrak{P}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $B_{\mathfrak{P}} \cong (B_{\mathfrak{n}})_{\mathfrak{P}B_{\mathfrak{n}}}$（補題 2.1）に前半を使えばよいです。

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注意 7.3

系 7.2 は、次元の数え上げだけで示そうとすると難しく、Serre（1956）がホモロジー代数を可換環論に持ち込んだ最初の大きな成果でした。たとえば体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ を極大イデアル $(x_1, \ldots, x_n)$ で局所化した環は正則なので、その素イデアルでの局所化はすべて正則です。幾何的には「非特異点の集合は（空でなければ）一般点を含む」という主張の代数的な核になります。

8. 正則局所環は一意分解整域

正則局所環が UFD であること（Auslander–Buchsbaum, 1959）を示します。UFD の判定には、高さ $1$ の素イデアルを使う次の補題を使います。

補題 8.1（高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定）✓

$A$ を Noether 整域とする。$A$ が UFD であることと、$A$ の高さ $1$ の素イデアルがすべて単項イデアルであることは同値である。

証明（補題 8.1）

⇒: $\mathfrak{p}$ を高さ $1$ の素イデアル、$0 \ne a \in \mathfrak{p}$ とします（$a$ は単元でない）。$a$ を既約元の積に分解すると、$\mathfrak{p}$ は素イデアルなのでその因子 $\pi$ の一つが $\mathfrak{p}$ に属します。補題 2.3［多項式環と体の拡大］ により $\pi$ は素元で、$0 \subsetneq \pi A \subseteq \mathfrak{p}$ は素イデアルの鎖なので、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ から $\mathfrak{p} = \pi A$ です。

⇐: まず $0$ でも単元でもない元が既約元の積に書けることを示します。書けない元 $a_0$ があれば、$a_0$ は既約でないので $a_0 = bc$（$b, c$ は単元でない）と書け、$b, c$ の一方 $a_1$ は既約元の積に書けません。$(a_0) \subsetneq (a_1)$ です（等号なら $c$ が単元になる）。これを繰り返すとイデアルの真の増大列ができ、$A$ が Noether であること（定義 5.1［多項式環と体の拡大］）に反します。次に既約元 $a$ が素元であることを示します。$aA$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ を取ると（補題 2.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）、定理 4.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ から $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$、$0 \subsetneq \mathfrak{p}$ から $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ で、仮定から $\mathfrak{p} = bA$ です。$a = bc$ と書くと、$a$ は既約で $b$ は単元でないので $c$ は単元で、$aA = bA$ は素イデアルです。補題 2.3［多項式環と体の拡大］ から $A$ は UFD です。

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補題 8.2（永田の判定法（素元一つの場合））✓

$A$ を Noether 整域、$x \in A$ を素元（$xA$ が $0$ でない素イデアル）とする。局所化 $A_x = A[1/x]$ が UFD なら、$A$ も UFD である。

証明（補題 8.2）

補題 8.1 により、高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が単項であることを示せば足ります。$x \in \mathfrak{p}$ なら $0 \subsetneq xA \subseteq \mathfrak{p}$ と $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ から $\mathfrak{p} = xA$ です。

$x \notin \mathfrak{p}$ とします。$\mathfrak{p}A_x$ は素イデアルで、$\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルは $x$ を含まないので、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) の対応で高さは $1$ のままです。$A_x$ は Noether な UFD なので、前の補題から $\mathfrak{p}A_x = fA_x$ と書け、単元倍を調整して $f \in \mathfrak{p}$ としてよいです。系 5.2［完備化と Artin–Rees の補題］ の (2) から $\bigcap_n x^nA = 0$ なので、$f = x^kf'$、$f' \notin xA$ と書け、$x \notin \mathfrak{p}$ から $f' \in \mathfrak{p}$ で、$f'A_x = fA_x$ です。そこで $f \notin xA$ と仮定します。$a \in \mathfrak{p}$ を取ると $a \in fA_x$ なので、ある $n \ge 0$ と $b \in A$ で $x^na = fb$ です。このような $n$ のうち最小のものを取ります。$n \ge 1$ なら $fb \in xA$ で、$xA$ は素イデアル、$f \notin xA$ なので $b = xb'$ と書け、$A$ は整域なので $x^{n-1}a = fb'$ となって最小性に反します。よって $n = 0$、$a \in fA$ で、$\mathfrak{p} = fA$ です。

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次の二つの補題は、局所的に単項なイデアルが「安定的に自由」なら単項になることを示すためのものです。

二つ目の補題の証明は行列式を使います。同型 $I \oplus R^n \cong R^{n+1}$ を $(n+1) \times (n+1)$ 行列で表し、その行列式 $\delta$ が $I$ を生成することを示します。まず $\delta I^{-1}$ が $R$ のイデアルになること（段階 1）、次に $\delta I^{-1} \ne R$ なら、それを含む極大イデアルでの局所化で矛盾すること（段階 2）が分かれば、$\delta I^{-1} = R$ から $I = \delta R$ が出ます（段階 3）。

補題 8.3（有限自由分解をもつ射影加群）✓

$R$ を環、$P$ を射影 $R$ 加群とし、有限階数の自由加群による有限の長さの分解 $0 \to F_n \to \cdots \to F_0 \to P \to 0$ があるとする。このとき $P \oplus R^a \cong R^b$ となる $a, b \ge 0$ がある。

証明（補題 8.3）

$n$ についての帰納法です。$n = 0$ なら $P \cong F_0$ です。$n \ge 1$ とし、$K = \ker(F_0 \to P)$ とおきます。$P$ は射影的なので全射 $F_0 \to P$ は分裂し（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)）、命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］ から $F_0 \cong K \oplus P$ です。$K$ は射影加群の直和因子なので射影的で（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）、長さ $n - 1$ の分解 $0 \to F_n \to \cdots \to F_1 \to K \to 0$ をもちます。帰納法の仮定から $K \oplus R^{a} \cong R^{b}$ で、$P \oplus R^{b} \cong P \oplus K \oplus R^{a} \cong F_0 \oplus R^{a}$ は有限階数の自由加群です。

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補題 8.4（安定的に自由な可逆イデアルは単項）✓

$R$ を整域、$K = \operatorname{Frac} R$、$I \subseteq R$ を可逆イデアル（定義 4.1［離散付値環と Dedekind 環］）とし、$R$ 加群の同型 $I \oplus R^n \cong R^{n+1}$ があるとする。このとき $I$ は単項イデアルである。

証明（補題 8.4）

同型 $\phi\colon R^{n+1} \to I \oplus R^n$ を取り、$\phi(u) = (r \cdot u, Bu)$ と書きます。ここで $r = (r_1, \ldots, r_{n+1})$ は $r_j \in I$ を成分とする行ベクトル（$r_j$ は $\phi(e_j)$ の第 1 成分）、$B$ は $R$ 成分の $n \times (n+1)$ 行列です。$r$ を第 1 行、$B$ を残りの行とする正方行列を $\Phi$ とし、$\delta = \det\Phi \in R$ とおきます。行列式は $K$ 上の行列のものとして扱います（定義 3.1［行列式とその性質］）。$I^{-1} = (R : I)$ と書くと $II^{-1} = R$ です（補題 4.2［離散付値環と Dedekind 環］ の (2)）。

段階 1: $\delta I^{-1} \subseteq R$。 $t \in I^{-1}$ なら $tr_j \in R$ です。第 1 行を $t$ 倍した行列の行列式は、定義 3.1［行列式とその性質］ の Leibniz の式の各項が第 1 行の成分をちょうど一つ含むことから $t\delta$ です。その行列の成分はすべて $R$ に属し、Leibniz の式は成分の整数係数多項式なので $t\delta \in R$ です。

段階 2: $\delta I^{-1} = R$。 $J = \delta I^{-1}$ は $R$ のイデアルです。$J \ne R$ と仮定し、$J$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ を取ります（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）。定理 4.3［離散付値環と Dedekind 環］ の (3) から $IR_{\mathfrak{m}} = sR_{\mathfrak{m}}$（$s \in K^{\times}$）で、$II^{-1} = R$ から $(I^{-1}R_{\mathfrak{m}})s = R_{\mathfrak{m}}$、すなわち $I^{-1}R_{\mathfrak{m}} = s^{-1}R_{\mathfrak{m}}$ です。$\phi$ を局所化し（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）、第 1 成分に $s^{-1}$ 倍の同型 $IR_{\mathfrak{m}} \to R_{\mathfrak{m}}$ を合成すると、$R_{\mathfrak{m}}$ 加群の同型 $R_{\mathfrak{m}}^{n+1} \to R_{\mathfrak{m}}^{n+1}$ が得られ、その行列は第 1 行が $s^{-1}r$（成分は $s^{-1}IR_{\mathfrak{m}} = R_{\mathfrak{m}}$ に属する）、残りが $B$ の行列 $\Phi'$ です。逆写像の行列 $\Psi'$（$R_{\mathfrak{m}}$ 成分）について $\Phi'\Psi'$ は単位行列なので、定理 6.1［行列式とその性質］ から $\det\Phi' \cdot \det\Psi' = 1$ で、$\det\Phi' = s^{-1}\delta$ は $R_{\mathfrak{m}}$ の単元です。ところが $s^{-1}\delta \in \delta I^{-1}R_{\mathfrak{m}} = JR_{\mathfrak{m}} \subseteq \mathfrak{m}R_{\mathfrak{m}}$ で、これは矛盾です。

段階 3。 $\delta R = \delta I^{-1}I = RI = I$ です。

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定理 8.5（正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum））✓

正則局所環は一意分解整域である。

証明（定理 8.5）

$\dim A = d$ についての帰納法で、次元 $d$ のすべての正則局所環 $(A, \mathfrak{m})$ について示します。$A$ は整域です（定理 6.3）。$d = 0$ なら $A$ は体で、$0$ でない元はすべて単元なので UFD です。$d \ge 1$ とし、$x \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2$ を取ります。命題 6.4 の (1) と 定理 6.3 から $A/xA$ は整域、すなわち $x$ は素元です。補題 8.2 により、$A_x$ が UFD であることを示せば足ります。$A_x$ は Noether 整域です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）。

段階 1: $A_x$ の局所化は UFD。 $A_x$ の素イデアル $Q$ について $\mathfrak{q} = Q \cap A$ とすると $x \notin \mathfrak{q}$、とくに $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{m}$ で、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} < \operatorname{ht}\mathfrak{m} = d$ です（$\mathfrak{q}$ で終わる鎖に $\mathfrak{m}$ を付け足せる）。補題 2.1 により $(A_x)_Q \cong A_{\mathfrak{q}}$ で、系 7.2 からこれは次元 $\operatorname{ht}\mathfrak{q} < d$ の正則局所環なので、帰納法の仮定から UFD です。

段階 2: $A_x$ の高さ $1$ の素イデアル $P$ は可逆。 補題 8.1 により、$A_x$ の各極大イデアル $Q$ について、$P \subseteq Q$ なら $P(A_x)_Q$ は UFD $(A_x)_Q$ の高さ $1$ の素イデアル（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4)）なので単項で、$P \not\subseteq Q$ なら $P(A_x)_Q = (A_x)_Q$ も単項です。$P$ は有限生成なので、定理 4.3［離散付値環と Dedekind 環］ の (4)⇒(1)(2) から $P$ は可逆で、有限生成射影 $A_x$ 加群です。

段階 3: $P$ は安定的に自由。 $\mathfrak{p} = P \cap A$ とすると $P = \mathfrak{p}A_x$ です（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2)）。定理 7.1 から $\operatorname{pd}_A \mathfrak{p} < \infty$ で、定理 6.3［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $\mathfrak{p}$ の極小自由分解は有限階数の自由加群からなる有限の長さの分解です。これを $x$ で局所化すると（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］。$(A^b)_x \cong A_x^b$）、$P$ の同じ形の分解が得られます。補題 8.3 から $P \oplus A_x^a \cong A_x^b$ です。商体 $K$ で局所化すると、$P \ne 0$ は $A_x$ のイデアルなので $PK = K$ で、$K^{1+a} \cong K^b$、定理 5.5［ベクトル空間と線形変換］ から $b = a + 1$ です。

段階 4。 補題 8.4 から $P$ は単項イデアルです。補題 8.1 から $A_x$ は UFD で、したがって $A$ も UFD です。

∎

注意 8.6

代数幾何では、正則局所環が UFD であることから、非特異な多様体の上では余次元 $1$ の部分多様体（Weil 因子）が局所的に $1$ つの方程式で定義される（Cartier 因子になる）ことが従います。特異点では UFD 性はふつう壊れます。たとえば $k[x, y, z, w]/(xy - zw)$ の原点での局所環では $xy = zw$ が既約元への二通りの分解を与え、UFD ではありません。ただし逆は成り立たず、UFD でも正則とは限りません。複素数体上の $\mathbb{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^3 + z^5)$ は UFD ですが正則ではない例として知られています（P. Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains, Tata Institute of Fundamental Research, 1964）。

9. Serre の判定法

正則性と深さの条件を、余次元ごとに課したものが Serre の条件です。

定義 9.1（Serre の条件 $(R_k)$・$(S_k)$）↗

$A$ を Noether 環、$k \ge 0$ を整数とする。

1. 高さ $k$ 以下のすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が正則局所環であるとき、$A$ は条件 $(R_k)$ を満たすという（「余次元 $k$ まで正則」）。
2. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge \min\{k, \dim A_{\mathfrak{p}}\}$ であるとき、$A$ は条件 $(S_k)$ を満たすという。

$(R_{k+1})$ は $(R_k)$ を、$(S_{k+1})$ は $(S_k)$ を導きます。$(S_0)$ はいつでも成り立ち、すべての $k$ で $(S_k)$ が成り立つことは $A$ が CM 環であること（命題 3.6 の (3)）にほかなりません。$\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge 1$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \notin \operatorname{Ass}(A_{\mathfrak{p}})$、すなわち $\mathfrak{p} \notin \operatorname{Ass}(A)$ と同値です（補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2)、命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］）。したがって $(S_1)$ は「$\operatorname{Ass}(A)$ の元はすべて極小素イデアル（埋没素イデアルがない）」と同値です。

補題 9.2（被約環の随伴素イデアル）✓

$A \ne 0$ を被約な Noether 環とすると、$\operatorname{Ass}(A)$ は $A$ の極小素イデアル全体に等しい。

証明（補題 9.2）

極小素イデアルを $\mathfrak{q}_1, \ldots, \mathfrak{q}_s$ とすると、これらは $\operatorname{Ass}(A)$ に属し、$\bigcap_i \mathfrak{q}_i = \operatorname{nil}(A) = 0$ です（系 3.4［準素分解と随伴素イデアル］）。$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(a) \in \operatorname{Ass}(A)$（$a \ne 0$）とすると、$a \notin \mathfrak{q}_i$ となる $i$ があり、$\mathfrak{p}a = 0 \subseteq \mathfrak{q}_i$ から $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}_i$ です。$\mathfrak{p}$ は極小素イデアル $\mathfrak{q}_j$ を含むので（命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］）、$\mathfrak{q}_j \subseteq \mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}_i$ と極小性から $\mathfrak{p} = \mathfrak{q}_i$ です。

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離散付値環と Dedekind 環 の 定理 6.2［離散付値環と Dedekind 環］ の条件 (a)、(b) は、整域ではちょうど $(R_1)$、$(S_2)$ です。ここで $P^1(A)$ は高さ $1$ の素イデアル全体です。

補題 9.3（整域での (R₁)・(S₂)）✓

$A$ を体でない Noether 整域とする。

1. $A$ が $(R_1)$ を満たすことと、すべての $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が DVR であることは同値である。
2. $A$ が $(S_2)$ を満たすことと、$0$ でも単元でもないすべての $a \in A$ について $\operatorname{Ass}(A/aA) \subseteq P^1(A)$ であることは同値である。

証明（補題 9.3）

(1) 高さ $0$ の素イデアルは $(0)$ だけで、$A_{(0)}$ は体なので正則です。$\mathfrak{p} \in P^1(A)$ なら $A_{\mathfrak{p}}$ は次元 $1$ の Noether 局所整域で、それが正則（$\operatorname{edim} = 1$）であることと DVR であることは 定理 3.4［離散付値環と Dedekind 環］ の (1)⇔(4) です。

(2) ⇒: $\mathfrak{P} \in \operatorname{Ass}(A/aA)$ とし、$B = A_{\mathfrak{P}}$ とします。命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］ から $\mathfrak{P}B \in \operatorname{Ass}(B/aB)$ なので、補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $\operatorname{depth}(B/aB) = 0$ です。$a$ は整域 $B$ の零因子でないので、系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $\operatorname{depth} B = 1$ です。$(S_2)$ から $1 \ge \min\{2, \dim B\}$、すなわち $\dim B \le 1$ で、$0 \ne a \in \mathfrak{P}$ から $\dim B \ge 1$ です。よって $\operatorname{ht}\mathfrak{P} = 1$ です。

⇐: 素イデアル $\mathfrak{p}$ と $B = A_{\mathfrak{p}}$ を取ります。$\dim B = 0$ なら示すことはありません。$\dim B \ge 1$ なら $\mathfrak{p}B$ の $0$ でない元は零因子でないので $\operatorname{depth} B \ge 1$ です。$\dim B \ge 2$ とし、$0 \ne a \in \mathfrak{p}$ を取ります。$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \ge 2$ なので仮定から $\mathfrak{p} \notin \operatorname{Ass}(A/aA)$ で、命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］ から $\mathfrak{p}B \notin \operatorname{Ass}(B/aB)$ です。$\operatorname{Ass}(B/aB)$ の元は極大イデアル $\mathfrak{p}B$ に含まれるので、$\mathfrak{p}B$ はどの随伴素イデアルにも含まれず、補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2) から $B/aB$ の零因子でない $b \in \mathfrak{p}B$ があります。$a, b$ は $B$ 正則列なので、系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (1) から $\operatorname{depth} B \ge 2$ です。

∎

定理 9.4（Serre の判定法）✓

$A$ を Noether 環とする。

1. $A$ が被約であることと、$A$ が $(R_0)$ かつ $(S_1)$ を満たすことは同値である。
2. $A$ が正規環（定義 3.1［整拡大］）であることと、$A$ が $(R_1)$ かつ $(S_2)$ を満たすことは同値である。

証明（定理 9.4）

(1) ⇒: 被約環の局所化は被約です（$(a/s)^n = 0$ なら $ta^n = 0$ となる $t \in S$ があり、$(ta)^n = 0$ から $ta = 0$）。$\mathfrak{p}$ が極小素イデアルなら、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ だけで、これは冪零根基（定理 2.6［局所化と素イデアルのスペクトル］）なので $0$、すなわち $A_{\mathfrak{p}}$ は体で、次元 $0$ の正則局所環です。これが $(R_0)$ です。$\dim A_{\mathfrak{p}} \ge 1$ なら $\mathfrak{p}$ は極小でないので 補題 9.2 から $\mathfrak{p} \notin \operatorname{Ass}(A)$ で、定義の後で見たとおり $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge 1$ です。これが $(S_1)$ です。

⇐: 冪零元 $a \ne 0$ があるとします。$Aa \subseteq A$ の随伴素イデアル $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(ba)$ を取ると（定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (2)）、命題 2.3［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) から $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A)$ で、$(S_1)$ から $\mathfrak{p}$ は極小です。$(R_0)$ から $A_{\mathfrak{p}}$ は次元 $0$ の正則局所環、すなわち体なので、冪零元 $a/1$ は $0$ です。すると $sa = 0$ となる $s \notin \mathfrak{p}$ がありますが、$\operatorname{Ann}(a) \subseteq \operatorname{Ann}(ba) = \mathfrak{p}$ なので矛盾です。

(2) ⇒: 素イデアル $\mathfrak{p}$ について $B = A_{\mathfrak{p}}$ は整閉局所整域です。$B$ が体なら $(R_1)$、$(S_2)$ の $\mathfrak{p}$ での条件は明らかです。そうでなければ 定理 6.2［離散付値環と Dedekind 環］ の (1) により $B$ は (a)、(b) を満たし、補題 9.3 から $B$ は $(R_1)$、$(S_2)$ を満たします。$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$ なら $B$ の極大イデアル $\mathfrak{p}B$ の高さは $1$ 以下なので、$B$ の $(R_1)$ から $B = B_{\mathfrak{p}B}$ は正則です。$B$ の $(S_2)$ を極大イデアル $\mathfrak{p}B$ で読めば $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge \min\{2, \dim A_{\mathfrak{p}}\}$ です。$\mathfrak{p}$ は任意なので $A$ は $(R_1)$、$(S_2)$ を満たします。

⇐: 素イデアル $\mathfrak{p}$ を固定し、$B = A_{\mathfrak{p}}$ が整閉整域であることを示します。$B$ の素イデアルは $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ となる $\mathfrak{q}$ の $\mathfrak{q}B$ で、$B_{\mathfrak{q}B} \cong A_{\mathfrak{q}}$ です（補題 2.1）。よって $B$ も $(R_1)$、$(S_2)$、したがって $(R_0)$、$(S_1)$ を満たし、(1) から被約です。

段階 1: $B$ は整域。 $B$ の極小素イデアル $\mathfrak{q}_1, \ldots, \mathfrak{q}_s$（有限個、系 3.4［準素分解と随伴素イデアル］）が $s \ge 2$ 個あるとし、$J = \mathfrak{q}_2 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_s$ とおきます。被約なので $\mathfrak{q}_1 \cap J = \operatorname{nil}(B) = 0$ です。$\mathfrak{q}_1 + J$ は極大イデアルに含まれるので、その極小素イデアル $P$ があります。$P = \mathfrak{q}_1$ なら $J \subseteq \mathfrak{q}_1$ で、補題 2.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2) からある $j \ge 2$ で $\mathfrak{q}_j \subseteq \mathfrak{q}_1$ となり極小性に反するので、$P \supsetneq \mathfrak{q}_1$ です。同じ補題から $P \supseteq \mathfrak{q}_j$ となる $j \ge 2$ があり、$P \ne \mathfrak{q}_j$ です（$\mathfrak{q}_1 \subseteq \mathfrak{q}_j$ にはならない）。$C = B_P$ とすると、$\mathfrak{q}_1C \ne \mathfrak{q}_jC$ はともに $C$ の極小素イデアルです（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4)）。

$\operatorname{ht} P = 1$ なら、$(R_1)$ から $C$ は正則で、定理 6.3 から整域なので極小素イデアルは $(0)$ だけで、矛盾です。

$\operatorname{ht} P \ge 2$ なら、$(S_2)$ から $\operatorname{depth} C \ge 2$ です。$a \mapsto (\bar a, \bar a)$、$(\bar b, \bar c) \mapsto \overline{b - c}$ により完全列 $0 \to B \to B/\mathfrak{q}_1 \oplus B/J \to B/(\mathfrak{q}_1 + J) \to 0$ ができ（左の単射性は $\mathfrak{q}_1 \cap J = 0$ から、中央の完全性は $b - c = u + v$、$u \in \mathfrak{q}_1$、$v \in J$ なら $a = b - u = c + v$ が $(\bar b, \bar c)$ に写ることから）、局所化して

$$0 \to C \to C/\mathfrak{q}_1C \oplus C/JC \to C/(\mathfrak{q}_1 + J)C \to 0$$

を得ます。$C/\mathfrak{q}_1C$ は整域で、$PC \ne \mathfrak{q}_1C$ なので $PC/\mathfrak{q}_1C$ の $0$ でない元は零因子でなく、深さは $1$ 以上です。$B/J$ は $\bigoplus_{j \ge 2} B/\mathfrak{q}_j$ に埋め込まれるので、命題 2.3［準素分解と随伴素イデアル］ から $\operatorname{Ass}(B/J) \subseteq \{\mathfrak{q}_2, \ldots, \mathfrak{q}_s\}$ で、命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］ から $\operatorname{Ass}(C/JC)$ は $P$ に含まれる $\mathfrak{q}_j$ の $\mathfrak{q}_jC$ からなり、$PC$ を含みません。$C/JC \ne 0$（$J \subseteq P$）なので、補題 7.3［Tor・Ext と深さ］ の (2) から深さは $1$ 以上です。系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (3) から中央の加群の深さは $1$ 以上です。右端は $0$ でなく、$P$ は $\mathfrak{q}_1 + J$ の極小素イデアルなので台は $\{PC\}$ だけで（命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)）、空でない随伴素イデアルの集合（系 3.2［準素分解と随伴素イデアル］）は $\{PC\}$ です。よって右端の深さは $0$ です。補題 2.5 の (3) から、中央の加群を $N$ として $0 \ge \min\{\operatorname{depth} C - 1, \operatorname{depth} N\} \ge \min\{1, 1\} = 1$ となり矛盾です。したがって $s = 1$ で、被約な $B$ の唯一の極小素イデアルは $\operatorname{nil}(B) = 0$、すなわち $B$ は整域です。

段階 2: $B$ は整閉。 $B$ が体なら明らかです。そうでなければ、補題 9.3 により $B$ は 定理 6.2［離散付値環と Dedekind 環］ の (a)、(b) を満たし、同定理の (2) から $B$ は整閉です。

∎

注意 9.5

定理 9.4 の (2) を幾何的に読むと、正規な多様体は「余次元 $1$ では非特異」（$(R_1)$）で、特異点の集合の余次元は $2$ 以上です。たとえば正規な曲線は非特異で、正規な曲面の特異点は孤立点です。また次元 $2$ の Noether 局所整域が正規なら、$(S_2)$ から深さは $2$ 以上で CM です（演習 11.3）。次元が $3$ 以上では正規でも CM とは限りません。CM であることと $(R_1)$ を合わせれば正規です。系 6.5 とこの判定法から、正則局所環を正則列で割った完全交叉は、$(R_1)$ を満たせば正規になります。

10. Gorenstein 環と全体の見取り図

正則局所環と CM 環の間に、もう一つ重要な環のクラスがあります。この記事では定義と例だけを扱います。

定義 10.1（Gorenstein 局所環・Gorenstein 環）↗

Noether 局所環 $A$ が、$A$ 加群として有限の入射次元 $\operatorname{id}_A A < \infty$（定義 6.1［Tor・Ext と深さ］）をもつとき、$A$ を Gorenstein 局所環という。Noether 環 $A$ が Gorenstein 環であるとは、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ が Gorenstein 局所環であることをいう。

例 10.2（Gorenstein 環の例と Gorenstein でない例）

(1) 体 $k$ 上の $A = k[x]/(x^n)$（$n \ge 1$）は $\operatorname{id}_A A = 0$、すなわち入射的です。定理 3.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により、イデアル $(x^i)$（$0 \le i \le n$）からの準同型 $f\colon (x^i) \to A$ が $A$ 全体に延びることを見れば足ります。$c = f(x^i)$ は $x^{n-i}c = f(x^n) = 0$ を満たすので $c \in (x^i)$、$c = x^ib$ と書け、$a \mapsto ab$ が $f$ の延長です。

(2) $A = k[x, y]/(x, y)^2$ は入射的ではありません。$\mathfrak{m} = (x, y)$ から $A$ への $k$ 線形写像 $f$ で $f(x) = x$、$f(y) = 0$ となるものは、$\mathfrak{m}^2 = 0$ と $f(\mathfrak{m}) \subseteq \mathfrak{m}$ から $A$ 準同型です。$A$ 全体に延びたとすると $f$ はある $a = c + \alpha x + \beta y$（$c, \alpha, \beta \in k$）の掛け算で、$ax = cx = x$、$ay = cy = 0$ から $c = 1$ かつ $c = 0$ となり矛盾です。後の注意で述べる定理によれば、次元 $0$ の Gorenstein 局所環は入射的なので、この $A$ は Gorenstein ではありません。

(3) 正則局所環 $A$（次元 $d$）は Gorenstein です。入射分解（命題 3.2［Tor・Ext と深さ］）から完全列 $0 \to A \to E^0 \to \cdots \to E^{d-1} \to C \to 0$ を作ると、補題 6.4［Tor・Ext と深さ］ の証明と同じ次元ずらしで、任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\operatorname{Ext}^1(A/\mathfrak{a}, C) \cong \operatorname{Ext}^{d+1}(A/\mathfrak{a}, A)$ で、定理 7.1 の $\operatorname{gldim} A = d$ からこれは $0$ です。Baer の判定法から $C$ は入射的で、$\operatorname{id}_A A \le d$ です。

(4) 次元 $1$ では、尖点の局所環 $k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3)$ は完全交叉なので Gorenstein です（後の注意の定理による）。他方 $k[t^3, t^4, t^5]$ を $(t^3, t^4, t^5)$ で局所化した環は次元 $1$ の局所整域なので CM ですが、Gorenstein ではないことが知られています。値の半群 $\langle 3, 4, 5 \rangle$ が対称でないことによります（E. Kunz, “The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein ring”, Proceedings of the American Mathematical Society 25 (1970), 748–751）。

注意 10.3（Gorenstein 環の基本定理（文献のみ））

Gorenstein 局所環については、次のことが知られています。(i) Gorenstein 局所環は CM で、$\operatorname{id}_A A = \operatorname{depth} A = \dim A$ である（Bass）。(ii) 完全交叉局所環は Gorenstein である。(iii) 次元 $0$ の局所環が Gorenstein であることと、$\{ a : \mathfrak{m}a = 0 \}$ が $k$ 上 $1$ 次元であることは同値である。(iv) Gorenstein 性は局所化で保たれる。証明には入射加群の構造論（Matlis 双対）と Bass の数が要り、この記事の範囲を超えるので、ここでは定理として述べず、使いもしません。H. Matsumura, Commutative Ring Theory, §18、§21、W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Chapter 3 を参照してください。Gorenstein 環は代数幾何の Serre 双対性で、標準加群が可逆になる環として現れます。

この章で扱った環のクラスの関係をまとめます。実線はこの記事で証明した含意、破線は注意で文献を示しただけの含意です。

局所環のクラスの包含関係（実線は本記事で証明、破線は文献のみ）

正則 ⇒ 完全交叉（$r = 0$）、完全交叉 ⇒ CM は 命題 6.7、正則 ⇒ UFD は 定理 8.5、UFD ⇒ 正規は 命題 3.3［整拡大］、正規 ⇔ $(R_1)$ かつ $(S_2)$ は 定理 9.4 です。逆向きの含意は成り立ちません。尖点（例 6.9）は完全交叉ですが正則でなく、例 10.2 の (4) の $k[t^3, t^4, t^5]$ の局所化は CM ですが Gorenstein でなく（文献による）、注意 8.6 の $\mathbb{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^3 + z^5)$ は UFD ですが正則ではありません。また、CM 性が壊れる典型として 例 3.9（各成分は正則）と 例 6.10（CM でも正規でもない整域）があります。

11. 演習

演習 11.1易

$(R, \mathfrak{m})$ を次元 $d \ge 1$ の正則局所環、$0 \ne f \in \mathfrak{m}$ とします。$A = R/fR$ が次元 $d - 1$ の CM 局所環であることを示し、$A$ が正則であることと $f \notin \mathfrak{m}^2$ が同値であることを示してください。

解答

定理 6.3 から $R$ は整域なので、$f \ne 0$ は零因子でなく、長さ $1$ の正則列です。命題 6.7 から $A$ は次元 $d - 1$ の CM 局所環です。$f \notin \mathfrak{m}^2$ なら 命題 6.4 の (1) から $A$ は正則です。逆に $A$ が正則なら、$f$ は零因子でないので同じ命題の (2) から $f \notin \mathfrak{m}^2$ です。たとえば $R = k[x, y]_{(x, y)}$ で、$f = y - x^2$ なら $A$ は正則（DVR）、$f = y^2 - x^3$ なら正則でありません。

演習 11.2標準

体 $k$ 上の $B = k[x, y]/(x^2, xy)$ を $(x, y)$ で局所化した環を $A$ とし、$\mathfrak{q} = yA$ とします。$\mathfrak{q}$ がパラメータイデアルであることを確かめ、$\ell(A/\mathfrak{q})$ と $e(\mathfrak{q})$ を求めて 定理 5.2 と照合してください。

解答

例 7.10［Tor・Ext と深さ］ のとおり $\dim A = 1$ です。$A/\mathfrak{q} \cong k[x, y]/(x^2, xy, y) = k[x]/(x^2)$ は Artin 環なので $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{m}$ 準素で（補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）、$y$ は 1 個の元からなるパラメータ系です。$\ell(A/\mathfrak{q}) = \dim_k k[x]/(x^2) = 2$ です。$n \ge 1$ で $A/\mathfrak{q}^n \cong k[x, y]/(x^2, xy, y^n)$ は $1, x, y, \ldots, y^{n-1}$ を基底にもつので（$(x, y)$ に属さない多項式は単元になり局所化しても変わらない）、$\ell(A/\mathfrak{q}^n) = n + 1$、$e(\mathfrak{q}) = 1$ です。$e(\mathfrak{q}) = 1 < 2 = \ell(A/\mathfrak{q})$ で、定理のとおり $A$ は CM でなく、$y$ は正則列ではありません（$y \cdot \bar x = 0$）。差の $1$ は埋没成分 $\bar x$ の寄与です。

演習 11.3標準

次元 $2$ の Noether 局所整域 $A$ が整閉なら CM であることを示してください。また、例 6.10 の環が CM でないことと、この事実が矛盾しないことを説明してください。

解答

$A$ は整閉局所整域なので、命題 3.2［整拡大］ から正規環で、定理 9.4 の (2) から $(S_2)$ を満たします。極大イデアル $\mathfrak{m}$ で読むと $\operatorname{depth} A \ge \min\{2, \dim A\} = 2 = \dim A$ で、命題 7.9［Tor・Ext と深さ］ と合わせて $A$ は CM です。例 6.10 の環は次元 $2$ の局所整域ですが整閉ではないので、この事実の仮定を満たしません。実際、その整閉包には $s^2t^2$ が加わり、$k[s^4, s^3t, s^2t^2, st^3, t^4]$（$s, t$ の $4$ の倍数次の単項式全体）の局所化になります。

参考文献

• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §14（パラメータ系と重複度）、§16（正則列と準正則列）、§17（Cohen–Macaulay 環）、§19（Serre の定理）、§20（正則局所環は UFD）、§21（完全交叉）、§23（Serre の判定法）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。
• W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, revised edition, Cambridge University Press, 1998 — Chapter 2（Cohen–Macaulay 環と正則環）、Chapter 3（Gorenstein 環）。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 11（正規性と Serre の判定法）、Chapters 18–19（Cohen–Macaulay 環・正則局所環）。
• J.-P. Serre, Algèbre locale, multiplicités, Lecture Notes in Mathematics 11, Springer, 1965 — Chapter IV（正則局所環のホモロジー的特徴づけ、重複度と CM 性）。
• M. Auslander, D. A. Buchsbaum, “Unique factorization in regular local rings”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 45 (1959), 733–734。