Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで

0. この記事の要点

整数の「$2$ 倍」は元を失わない操作ですが、これを $\mathbb{Z}/2$ の世界に持ち込むと、すべてを $0$ に潰す写像になってしまいます。このように、計算を別の加群へ移すと、きれいに並んでいた列が途中で壊れることがあります。この記事では、壊れ方を測る道具（$\operatorname{Tor}$ と $\operatorname{Ext}$）を作り、それを使って、環の中で「$0$ でない元を何回続けて割れるか」という数と、「加群が自由な加群からどれだけ離れているか」という数が、一つの公式で結びつくことを示します。以下の箇条書きは全体像の先取りなので、細部が分からなくても、後の節で一つずつ導入します。

• 加群 $M$ を射影加群の完全列 $\cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0$ で置き換えたもの（射影分解）は、比較定理によりホモトピーを除いて一意です。そこで $\operatorname{Tor}_n^A(M, N) = H_n(P_\bullet \otimes N)$、$\operatorname{Ext}^n_A(M, N) = H^n(\operatorname{Hom}(P_\bullet, N))$ が分解によらずに定まります。
• 短完全列から $\operatorname{Tor}$ と $\operatorname{Ext}$ の長完全列が出ます（蛇の補題と馬蹄補題）。次元ずらしにより、$\operatorname{Tor}$ はどちらの変数を分解して計算しても同じです（平衡性）。
• $M$ が平坦 $\iff$ すべてのイデアル $\mathfrak{a}$ で $\operatorname{Tor}_1(A/\mathfrak{a}, M) = 0$ です。Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ 上の有限生成加群では、平坦 $\iff$ 自由 $\iff$ $\operatorname{Tor}_1(k, M) = 0$（局所平坦性判定）で、射影次元は $\operatorname{pd} M = \sup\{ i : \operatorname{Tor}_i(M, k) \ne 0 \}$、大域次元は $\operatorname{pd} k$ です。
• 正則列（零因子でない元を順に選び、その都度割っていく列）の極大なものの長さは一定で、$\operatorname{depth}_I M = \min\{ i : \operatorname{Ext}^i(A/I, M) \ne 0 \}$ です（Rees）。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M$ なら $\operatorname{depth} M \le \dim A/\mathfrak{p}$、とくに $\operatorname{depth} M \le \dim A$ です。
• 正則列 $x_1, \ldots, x_n$ の Koszul 複体は $A/(x_1, \ldots, x_n)$ の自由分解です。射影次元が有限なら Auslander–Buchsbaum の公式 $\operatorname{pd} M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} A$ が成り立ちます。

この記事で使う事前知識

• 射影加群: 全射の先への写像を、元の加群へ持ち上げられる加群のこと。自由加群はその例です。→ 射影加群
• 完全列: 各所で、手前の写像の像と次の写像の核が一致する加群の列のこと。→ 完全列
• テンソル積と右完全: 加群 $M, N$ から作る加群 $M \otimes N$。完全列にテンソルすると、右側の部分だけが完全のまま残る性質を右完全といいます。→ テンソル積、右完全
• 局所環と剰余体: 極大イデアルがただ一つの環 $A$ を局所環といい、その極大イデアル $\mathfrak{m}$ による商 $k = A/\mathfrak{m}$ を剰余体といいます。→ 局所環
• 零因子: 加群 $M$ の元 $x$ が零因子であるとは、$xm = 0$ となる $m \ne 0$ があること。→ 零因子
• Krull 次元: 素イデアルの真の増大列の最大の長さ。→ Krull 次元

1. 動機

テンソル積は右完全ですが左完全ではなく、$\operatorname{Hom}$ は左完全ですが右完全ではありません（テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群）。たとえば $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ に $\mathbb{Z}/2$ をテンソルすると、左端の $\mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2$ は単射でなくなります。この「壊れ方」を測る加群を系統的に作り、壊れた列を左（または右）へ延ばして完全列に戻すのが $\operatorname{Tor}$ と $\operatorname{Ext}$ です。代数トポロジーでは $\mathbb{Z}$ 上の $\operatorname{Ext}$ が普遍係数定理に現れました（コホモロジーと双対性）。この章ではそれを一般の可換環上に広げます。

可換環論でこの道具が効くのは、加群や環の「大きさ」を数で測れるからです。射影次元 $\operatorname{pd} M$ は $M$ が自由加群からどれだけ遠いかを、深さ $\operatorname{depth} M$ は $M$ に零因子でない元を何個続けて掛けられるかを測ります。両者は一見無関係ですが、Auslander–Buchsbaum の公式で結ばれます。深さは Krull 次元と単項イデアル定理 の次元以下で、等号の成り立つ環が次章 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の主役です。正則局所環の特徴づけ（Serre の定理、定理 7.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）も、この章の Koszul 複体と Auslander–Buchsbaum の公式から導かれます。

以下、環は単位元をもつ可換環で、$\otimes = \otimes_A$、$\operatorname{Hom} = \operatorname{Hom}_A$ と書きます。局所環を $(A, \mathfrak{m}, k)$ と書くときは $k = A/\mathfrak{m}$ です。

2. 複体とホモロジー

定義 2.1（複体・ホモロジー・鎖写像・ホモトピー）↗

1. $A$ 加群と準同型の列 $C_\bullet = (\cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} C_n \xrightarrow{d_n} C_{n-1} \to \cdots)$（$n \in \mathbb{Z}$）で $d_n d_{n+1} = 0$ を満たすものを複体という。$Z_n = \ker d_n$、$B_n = \operatorname{Im} d_{n+1}$ とおき、$H_n(C) = Z_n/B_n$ を $n$ 次ホモロジーという。すべての $n$ で $H_n(C) = 0$ のとき $C_\bullet$ は完全（非輪状）であるという。
2. 添字が上がる列 $C^n \xrightarrow{d^n} C^{n+1}$ で $d^{n+1}d^n = 0$ のものも、$C_n = C^{-n}$ とおけば複体である。このとき $H^n(C) = \ker d^n / \operatorname{Im} d^{n-1}$ と書き、$n$ 次コホモロジーという。
3. 複体の間の準同型の族 $f_n\colon C_n \to D_n$ で $d f_n = f_{n-1} d$ を満たすものを鎖写像という。鎖写像は $Z_n$ を $Z_n$ に、$B_n$ を $B_n$ に写すので、$H_n(f)\colon H_n(C) \to H_n(D)$ を誘導する。
4. 二つの鎖写像 $f, g\colon C_\bullet \to D_\bullet$ がホモトピックであるとは、準同型の族 $h_n\colon C_n \to D_{n+1}$ で $f_n - g_n = d_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n$ を満たすもの（ホモトピー）が存在することをいう。

補題 2.2（ホモトピックな写像はホモロジーで等しい）✓

ホモトピックな鎖写像 $f, g\colon C_\bullet \to D_\bullet$ について $H_n(f) = H_n(g)$ である。さらに、任意の $A$ 加群 $N$ について、$f \otimes 1, g \otimes 1\colon C_\bullet \otimes N \to D_\bullet \otimes N$ はホモトピックな鎖写像であり、$f^*, g^*\colon \operatorname{Hom}(D_\bullet, N) \to \operatorname{Hom}(C_\bullet, N)$ はホモトピックな鎖写像である。とくにそれぞれの（コ）ホモロジーで同じ写像を誘導する。

証明（補題 2.2）

$z \in Z_n(C)$ なら $d_n z = 0$ なので $f_n(z) - g_n(z) = d_{n+1}h_n(z) \in B_n(D)$ で、ホモロジー類は等しくなります。$C_\bullet \otimes N$ の微分は $d \otimes 1$ で、$f \otimes 1$ は鎖写像です。$(f_n - g_n) \otimes 1 = (d_{n+1} \otimes 1)(h_n \otimes 1) + (h_{n-1} \otimes 1)(d_n \otimes 1)$ なので $h \otimes 1$ がホモトピーになります。$\operatorname{Hom}(C_\bullet, N)$ は $\operatorname{Hom}(C_n, N)$ を $n$ 次とし、微分を $d^* \colon \psi \mapsto \psi \circ d$ とするコチェイン複体で、$f_n^* - g_n^* = h_n^* d_{n+1}^* + d_n^* h_{n-1}^*$ となるので $h^*$（向きが逆になる）がホモトピーです。

∎

複体の短完全列 $0 \to C'_\bullet \xrightarrow{u} C_\bullet \xrightarrow{v} C''_\bullet \to 0$ とは、$u, v$ が鎖写像で、各 $n$ で $0 \to C'_n \to C_n \to C''_n \to 0$ が完全なことをいいます。

補題 2.3（ホモロジーの長完全列（加群））✓

複体の短完全列 $0 \to C'_\bullet \xrightarrow{u} C_\bullet \xrightarrow{v} C''_\bullet \to 0$ に対し、準同型 $\delta_n\colon H_n(C'') \to H_{n-1}(C')$ があって、列

$$\cdots \to H_n(C') \xrightarrow{H_n(u)} H_n(C) \xrightarrow{H_n(v)} H_n(C'') \xrightarrow{\delta_n} H_{n-1}(C') \xrightarrow{H_{n-1}(u)} H_{n-1}(C) \to \cdots$$

は完全である。$\delta_n$ は次のように与えられる: $z'' \in Z_n(C'')$ に対し $v(c) = z''$ となる $c \in C_n$ を取ると、$dc = u(z')$ となる $z' \in Z_{n-1}(C')$ がただ一つあり、$\delta_n[z''] = [z']$ である。

証明（補題 2.3）

行の完全性。 各 $n$ について、可換図式（行は完全、縦は微分）

$$\begin{matrix} 0 & \to & C'_{n} & \xrightarrow{u} & C_{n} & \xrightarrow{v} & C''_{n} & \to & 0 \\ & & \downarrow d & & \downarrow d & & \downarrow d & & \\ 0 & \to & C'_{n-1} & \xrightarrow{u} & C_{n-1} & \xrightarrow{v} & C''_{n-1} & \to & 0 \end{matrix}$$

に 補題 4.1［加群・完全列・中山の補題］ を使うと、その最後の主張から $0 \to Z_n(C') \to Z_n(C) \to Z_n(C'')$ と $C'_{n-1}/B_{n-1}(C') \to C_{n-1}/B_{n-1}(C) \to C''_{n-1}/B_{n-1}(C'') \to 0$ が完全です（前者の左端の単射性は $u$ の単射性から、後者の右端の全射性は $v$ の全射性から）。

蛇の補題の適用。 $d_n$ は $B_n$ を $0$ に写し、像は $Z_{n-1}$ に入るので、$\bar d\colon C_n/B_n \to Z_{n-1}$ を誘導します。その核は $Z_n/B_n = H_n$、余核は $Z_{n-1}/B_{n-1} = H_{n-1}$ です。上の二つの完全列（添字をずらしたもの）を行とする可換図式

$$\begin{matrix} & & C'_n/B'_n & \to & C_n/B_n & \to & C''_n/B''_n & \to & 0 \\ & & \downarrow \bar d & & \downarrow \bar d & & \downarrow \bar d & & \\ 0 & \to & Z'_{n-1} & \to & Z_{n-1} & \to & Z''_{n-1} & & \end{matrix}$$

に再び 補題 4.1［加群・完全列・中山の補題］ を使うと、完全列 $H_n(C') \to H_n(C) \to H_n(C'') \xrightarrow{\delta} H_{n-1}(C') \to H_{n-1}(C) \to H_{n-1}(C'')$ が得られます。$\delta$ 以外の写像は $u, v$ が誘導するもの、すなわち $H(u), H(v)$ です。これを $n$ ごとにつなぐと主張の長完全列になります。$\delta$ の記述は蛇の補題の証明での連結準同型の作り方そのものです（$z''$ を $v$ で持ち上げ、$d$ を施し、$u$ で引き戻す）。

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アーベル群（$A = \mathbb{Z}$）の場合は ホモロジーの長完全列（定理 3.1）［特異ホモロジー］ と同じ内容で、証明も同じ図式追跡です。

3. 分解と比較定理

定義 3.1（射影分解・自由分解・入射分解）↗

$M$ を $A$ 加群とする。

1. 複体 $P_\bullet$（$n < 0$ で $P_n = 0$）と準同型 $\varepsilon\colon P_0 \to M$ の組で、各 $P_n$ が射影加群であり、列 $\cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} M \to 0$ が完全なものを $M$ の射影分解といい、$P_\bullet \to M$ と書く。各 $P_n$ が自由加群のとき自由分解という。$P_n \ne 0$ となる $n$ の上限を分解の長さという。
2. $K_0 = M$、$n \ge 1$ について $K_n = \operatorname{Im} d_n = \ker d_{n-1}$（$d_0 = \varepsilon$）を $M$ の（この分解に関する）第 $n$ syzygy（第 $n$ 次の関係加群）という。$0 \to K_{n+1} \to P_n \to K_n \to 0$ は完全である。
3. 複体 $0 \to E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} \cdots$ と準同型 $\eta\colon M \to E^0$ の組で、各 $E^n$ が入射加群であり、$0 \to M \xrightarrow{\eta} E^0 \to E^1 \to \cdots$ が完全なものを $M$ の入射分解という。

命題 3.2（分解の存在）✓

任意の $A$ 加群は自由分解（とくに射影分解）と入射分解をもつ。$A$ が Noether 環で $M$ が有限生成なら、各 $P_n$ が有限階数の自由加群 $A^{b_n}$ であるような自由分解がある。

証明（命題 3.2）

自由分解。 $M$ の元全体（または生成系）を添字とする自由加群 $F_0$ を取り、補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) で基底を対応する元に写す $\varepsilon\colon F_0 \to M$ を作ると全射です。$K_1 = \ker \varepsilon$ に同じことをして $F_1 \to K_1$ を作り、$F_1 \to K_1 \subseteq F_0$ を $d_1$ とします。これを繰り返すと、各段で $\operatorname{Im} d_{n+1} = K_{n+1} = \ker d_n$ なので完全です。自由加群は射影的です（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。

Noether の場合。 $M$ が有限生成なら $F_0 = A^{b_0}$ に取れます。$A$ が Noether なら有限生成加群 $F_0$ は Noether 加群で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）、その部分加群 $K_1$ は有限生成なので $F_1 = A^{b_1}$ に取れます。以下同様です。

入射分解。 定理 3.9［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により単射 $\eta\colon M \to E^0$（$E^0$ は入射加群）があります。$C^1 = E^0/\eta(M)$ を入射加群 $E^1$ に埋め込み、$d^0\colon E^0 \to C^1 \to E^1$ とします。これを繰り返せば、各段で $\ker d^n = \operatorname{Im} d^{n-1}$ となります。

∎

分解は一意ではありませんが、次の比較定理によって「ホモトピーを除いて一意」です。これが $\operatorname{Tor}$ と $\operatorname{Ext}$ が分解によらないことの根拠になります。

証明は、上の行（射影加群の列）から下の行（完全な列）への写像を、右から左へ一段ずつ作っていく形です。各段で、持ち上げるために $P$ の射影性を、行き先が核に入っていることを確かめるために $Q$ の完全性を、それぞれ一度ずつ使います。証明の後の図の破線が、そうして順に作られる写像に当たります。

定理 3.3（比較定理）✓

$P_\bullet$ を各 $P_n$ が射影加群の複体（$n < 0$ で $P_n = 0$）、$\varepsilon_P\colon P_0 \to M$ を $\varepsilon_P d_1 = 0$ を満たす準同型とする。$Q_\bullet \to N$ を $N$ の分解（$\cdots \to Q_1 \to Q_0 \xrightarrow{\varepsilon_Q} N \to 0$ が完全。$Q_n$ は射影的でなくてよい）とし、$f\colon M \to N$ を準同型とする。

1. 鎖写像 $\varphi\colon P_\bullet \to Q_\bullet$ で $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ を満たすもの（$f$ の持ち上げ）が存在する。
2. $f$ の二つの持ち上げ $\varphi, \psi$ はホモトピックである。

証明（定理 3.3）

(1) $\varepsilon_Q$ は全射で $P_0$ は射影的なので、定義 3.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ となる $\varphi_0$ があります。$\varphi_0, \ldots, \varphi_n$ が $d \varphi_i = \varphi_{i-1} d$（$i \le n$）を満たすまで作れたとします。$\varphi_n d_{n+1}\colon P_{n+1} \to Q_n$ の像は $\ker d_n^Q$ に入ります。実際 $n \ge 1$ なら $d_n \varphi_n d_{n+1} = \varphi_{n-1} d_n d_{n+1} = 0$、$n = 0$ なら $\varepsilon_Q \varphi_0 d_1 = f \varepsilon_P d_1 = 0$ です（$d_0^Q = \varepsilon_Q$ とみなす）。$Q$ の完全性から $\ker d_n^Q = \operatorname{Im} d_{n+1}^Q$ で、$d_{n+1}^Q\colon Q_{n+1} \to \operatorname{Im} d^Q_{n+1}$ は全射なので、$P_{n+1}$ の射影性から $d_{n+1}^Q \varphi_{n+1} = \varphi_n d_{n+1}$ となる $\varphi_{n+1}$ が取れます。

(2) $\theta = \varphi - \psi$ は $0$ の持ち上げ（$\varepsilon_Q \theta_0 = 0$）です。$h_n\colon P_n \to Q_{n+1}$ を $\theta_n = d_{n+1}^Q h_n + h_{n-1} d_n$（$h_{-1} = 0$）となるよう帰納的に作ります。$n = 0$: $\theta_0(P_0) \subseteq \ker \varepsilon_Q = \operatorname{Im} d_1^Q$ なので、射影性から $d_1^Q h_0 = \theta_0$ となる $h_0$ があります。$h_0, \ldots, h_{n-1}$ まで作れたとき、$\theta_n - h_{n-1} d_n$ の像は $\ker d_n^Q$ に入ります:

$$d_n^Q(\theta_n - h_{n-1} d_n) = \theta_{n-1} d_n - d_n^Q h_{n-1} d_n = (\theta_{n-1} - d_n^Q h_{n-1}) d_n = h_{n-2} d_{n-1} d_n = 0$$

（最初の等号で $\theta$ が鎖写像であること、3 番目の等号で $\theta_{n-1} = d_n^Q h_{n-1} + h_{n-2} d_{n-1}$ を使った。$n = 1$ では $h_{-1} = 0$ なので右辺は $0$）。よって $\ker d_n^Q = \operatorname{Im} d_{n+1}^Q$ への写像として持ち上げ、$d_{n+1}^Q h_n = \theta_n - h_{n-1} d_n$ となる $h_n$ が取れます。

∎

比較定理：射影的な行から完全な行へ、f を左へ順に持ち上げる（破線が作る写像）

次の馬蹄補題は、短完全列の両端の分解から真ん中の分解を組み立てるものです。$\operatorname{Tor}$・$\operatorname{Ext}$ の第 1 変数についての長完全列に使います。

補題 3.4（馬蹄補題）✓

$0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ を短完全列、$P'_\bullet \to M'$、$P''_\bullet \to M''$ を射影分解とする。このとき $M$ の射影分解 $P_\bullet \to M$ で $P_n = P'_n \oplus P''_n$ となるものと、鎖写像 $\iota\colon P'_\bullet \to P_\bullet$（第 1 成分への包含）、$\pi\colon P_\bullet \to P''_\bullet$（第 2 成分への射影）で、$\varepsilon \iota_0 = f \varepsilon'$、$\varepsilon'' \pi_0 = g \varepsilon$ を満たすものが存在する。とくに $\iota$ は $f$ の、$\pi$ は $g$ の持ち上げであり、各 $n$ で $0 \to P'_n \to P_n \to P''_n \to 0$ は分裂する短完全列である。

証明（補題 3.4）

$P''_0$ は射影的で $g$ は全射なので、$g \lambda = \varepsilon''$ となる $\lambda\colon P''_0 \to M$ があります。$P_0 = P'_0 \oplus P''_0$ とし、$\varepsilon(p', p'') = f\varepsilon'(p') + \lambda(p'')$ とおくと、$\varepsilon\iota_0 = f\varepsilon'$、$g\varepsilon(p', p'') = gf\varepsilon'(p') + \varepsilon''(p'') = \varepsilon''\pi_0(p', p'')$ です。行 $0 \to P'_0 \to P_0 \to P''_0 \to 0$ と $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$、縦の $\varepsilon', \varepsilon, \varepsilon''$ の可換図式に 補題 4.1［加群・完全列・中山の補題］ を使うと、$\operatorname{Coker}\varepsilon' = 0$、$\operatorname{Coker}\varepsilon'' = 0$ から $\operatorname{Coker}\varepsilon = 0$、すなわち $\varepsilon$ は全射で、さらに $\ker\varepsilon'' \xrightarrow{\delta} \operatorname{Coker}\varepsilon' = 0$ と上の行の単射性から $0 \to \ker\varepsilon' \to \ker\varepsilon \to \ker\varepsilon'' \to 0$ は完全です。

この短完全列と、$P'_{\ge 1} \to \ker\varepsilon'$、$P''_{\ge 1} \to \ker\varepsilon''$（添字を 1 ずらすと射影分解）に同じ構成を施して $P_1 = P'_1 \oplus P''_1 \to \ker\varepsilon$ を作り、$d_1\colon P_1 \to \ker\varepsilon \subseteq P_0$ とします。以下これを繰り返すと、各段で $\operatorname{Im} d_{n+1} = \ker d_n$ となるので $P_\bullet \to M$ は完全で、$P_n$ は射影加群の直和なので射影的です（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。各段の構成で包含と射影が増強写像と可換なので、$\iota, \pi$ は鎖写像です。$0 \to P'_n \to P'_n \oplus P''_n \to P''_n \to 0$ は、第 2 成分への包含 $p'' \mapsto (0, p'')$ が射影の切断になるので分裂します。

∎

$P_\bullet$ の微分は一般に直和の微分ではなく、$P''_n$ から $P'_{n-1}$ への成分（$\lambda$ に由来する）をもちます。

局所環では、分解に「無駄のない」ものを選べます。

定義 3.5（極小自由分解）↗

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。$M$ の自由分解 $F_\bullet \to M$ で、各 $F_n$ が有限階数 $b_n$ の自由加群であり、すべての $n \ge 1$ について $d_n(F_n) \subseteq \mathfrak{m} F_{n-1}$ を満たすものを極小自由分解という。

命題 3.6（極小自由分解の存在）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。$M$ の極小自由分解が存在する。より詳しく、$F_n \to K_n$（$K_n$ は第 $n$ syzygy）が $K_n$ の極小生成系に基底を写すように選べば極小自由分解になり、このとき $K_{n+1} \subseteq \mathfrak{m}F_n$ である。

証明（命題 3.6）

有限生成加群 $K$ の極小生成系 $y_1, \ldots, y_b$ を取り、$F = A^b$ の基底 $e_i$ を $y_i$ に写す全射 $\varepsilon\colon F \to K$ を作ります。系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により $\bar y_1, \ldots, \bar y_b$ は $K/\mathfrak{m}K$ の基底なので、$\bar\varepsilon\colon F/\mathfrak{m}F \to K/\mathfrak{m}K$ は基底を基底に写す同型です。$x \in \ker\varepsilon$ なら $\bar\varepsilon(\bar x) = 0$ なので $\bar x = 0$、すなわち $\ker\varepsilon \subseteq \mathfrak{m}F$ です。$\ker\varepsilon$ は Noether 加群 $F$ の部分加群なので有限生成です（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。

$K_0 = M$ から始めてこれを繰り返し、$F_n \to K_n$、$K_{n+1} = \ker(F_n \to K_n)$ とします（$K_n = 0$ なら $b_n = 0$）。$d_{n+1}\colon F_{n+1} \to K_{n+1} \subseteq F_n$ の像は $K_{n+1} \subseteq \mathfrak{m}F_n$ に入るので極小です。

∎

4. Tor と Ext

定義 4.1（Tor と Ext）↗

$M, N$ を $A$ 加群とし、$P_\bullet \to M$ を射影分解とする。$n \ge 0$ について

$$\operatorname{Tor}_n^A(M, N) = H_n(P_\bullet \otimes N), \qquad \operatorname{Ext}^n_A(M, N) = H^n(\operatorname{Hom}(P_\bullet, N))$$

と定める。ここで $\operatorname{Hom}(P_\bullet, N)$ は $\operatorname{Hom}(P_0, N) \to \operatorname{Hom}(P_1, N) \to \cdots$（写像は $d^*$）である。準同型 $f\colon M \to M'$ と $g\colon N \to N'$ については、$M'$ の射影分解 $P'_\bullet$ と $f$ の持ち上げ $\varphi\colon P_\bullet \to P'_\bullet$（定理 3.3）を取り、$\operatorname{Tor}_n(f, N) = H_n(\varphi \otimes 1)$、$\operatorname{Ext}^n(f, N) = H^n(\varphi^*)\colon \operatorname{Ext}^n(M', N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N)$、$\operatorname{Tor}_n(M, g) = H_n(1 \otimes g)$、$\operatorname{Ext}^n(M, g) = H^n(g_*)$ と定める。$A$ を省いて $\operatorname{Tor}_n$、$\operatorname{Ext}^n$ とも書く。

$\operatorname{Hom}(-, N)$ は写像の向きを逆にするので、$\operatorname{Hom}(P_\bullet, N)$ では添字が下がる代わりに上がり、複体ではなくコチェイン複体になります。そのためホモロジー $H_n$ ではなくコホモロジー $H^n$ を取ります。$P_n$ を $-n$ 次の項と読み替えれば、2 節の複体の定義がそのまま使えます。

系 4.2（Tor・Ext は分解によらない）✓

$\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$ と $\operatorname{Ext}^n_A(M, N)$ は、射影分解の取り方によらず標準的な同型を除いて定まる。$\operatorname{Tor}_n(f, N)$、$\operatorname{Ext}^n(f, N)$ は持ち上げの取り方によらず、合成を合成に、恒等写像を恒等写像に写す。

証明（系 4.2）

$f$ の二つの持ち上げはホモトピックなので（定理 3.3 の (2)）、補題 2.2 により $\otimes N$ や $\operatorname{Hom}(-, N)$ を施した後も同じ写像を誘導します。$f\colon M \to M'$、$f'\colon M' \to M''$ の持ち上げ $\varphi, \varphi'$ について $\varphi'\varphi$ は $f'f$ の持ち上げなので、合成は合成に写り、$\mathrm{id}_P$ は $\mathrm{id}_M$ の持ち上げなので、恒等写像は恒等写像に写ります。$P_\bullet, \tilde P_\bullet$ を $M$ の二つの射影分解とし、$\mathrm{id}_M$ の持ち上げ $\alpha\colon P \to \tilde P$、$\beta\colon \tilde P \to P$ を取ると、$\beta\alpha$ と $\mathrm{id}_P$ はどちらも $\mathrm{id}_M$ の持ち上げなのでホモトピックです。よって $H_n(\beta \otimes 1) H_n(\alpha \otimes 1) = \mathrm{id}$ で、逆の合成も同様なので $H_n(\alpha \otimes 1)$ は同型です。この同型は持ち上げによらないので標準的です。$\operatorname{Ext}$ も同様です。

∎

$A = \mathbb{Z}$ のとき、アーベル群 $M$ には長さ $1$ 以下の自由分解 $0 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0$ があり（自由アーベル群の部分群は自由: 補題 3.1［コホモロジーと双対性］）、$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(M, G)$ は 代数トポロジーで定義した Ext（定義 3.2）［コホモロジーと双対性］ そのものです。補題 3.3［コホモロジーと双対性］ は 系 4.2 の $n = 1$、$A = \mathbb{Z}$ の場合にあたります。

命題 4.3（Tor・Ext の基本性質）✓

$M, N$ を $A$ 加群とする。

1. $\operatorname{Tor}_0(M, N) \cong M \otimes N$、$\operatorname{Ext}^0(M, N) \cong \operatorname{Hom}(M, N)$ であり、これらの同型は $M$ についての準同型とも $N$ についての準同型とも可換である。
2. $n \ge 1$ について、$M$ が射影的なら $\operatorname{Tor}_n(M, N) = 0 = \operatorname{Ext}^n(M, N)$、$N$ が平坦なら $\operatorname{Tor}_n(M, N) = 0$、$N$ が入射的なら $\operatorname{Ext}^n(M, N) = 0$ である。
3. $a \in A$ について、$M$ 上の $a$ 倍写像 $a_M$ と $N$ 上の $a$ 倍写像 $a_N$ が誘導する $\operatorname{Tor}_n(M, N)$ の自己準同型は、どちらも $a$ 倍写像である。$\operatorname{Ext}^n(M, N)$ についても同様である。とくに $a \in \operatorname{Ann} M + \operatorname{Ann} N$ なら $a \operatorname{Tor}_n(M, N) = 0$、$a \operatorname{Ext}^n(M, N) = 0$ である。
4. 第 2 変数の準同型 $g, g'\colon N \to N'$ と $b \in A$ について $\operatorname{Tor}_n(M, g + g') = \operatorname{Tor}_n(M, g) + \operatorname{Tor}_n(M, g')$、$\operatorname{Tor}_n(M, bg) = b \operatorname{Tor}_n(M, g)$ であり、$\operatorname{Tor}_n(M, g'' g) = \operatorname{Tor}_n(M, g'') \operatorname{Tor}_n(M, g)$ である。$\operatorname{Ext}^n(M, -)$ についても同様である。また $\operatorname{Tor}_n(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Tor}_n(M, N_1) \oplus \operatorname{Tor}_n(M, N_2)$、$\operatorname{Ext}^n(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Ext}^n(M, N_1) \oplus \operatorname{Ext}^n(M, N_2)$ である。

証明（命題 4.3）

$P_\bullet \to M$ を射影分解とします。

(1) $P_1 \to P_0 \to M \to 0$ は完全なので、定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ から $P_1 \otimes N \to P_0 \otimes N \to M \otimes N \to 0$ は完全で、$\varepsilon \otimes 1$ は $H_0(P \otimes N) = \operatorname{Coker}(d_1 \otimes 1) \cong M \otimes N$ を与えます。命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2) から $0 \to \operatorname{Hom}(M, N) \xrightarrow{\varepsilon^*} \operatorname{Hom}(P_0, N) \to \operatorname{Hom}(P_1, N)$ は完全なので $H^0 = \ker d_1^* \cong \operatorname{Hom}(M, N)$ です。どちらの同型も $\varepsilon$ との合成で与えられるので、$1 \otimes g$、$g_*$ と可換です。また $f\colon M \to M'$ の持ち上げ $\varphi\colon P_\bullet \to P'_\bullet$ については $\varepsilon' \varphi_0 = f \varepsilon$ なので、$(\varepsilon' \otimes 1)(\varphi_0 \otimes 1) = (f \otimes 1)(\varepsilon \otimes 1)$、$\varphi_0^* \varepsilon'^* = \varepsilon^* f^*$ となり、$M$ についての準同型とも可換です。

(2) $M$ が射影的なら $0 \to M \xrightarrow{\mathrm{id}} M$ が射影分解で、$n \ge 1$ の項は $0$ です。$N$ が平坦なら、補題 4.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ を $P_{n+1} \to P_n \to P_{n-1}$ に使うと $H_n(P \otimes N) \cong H_n(P) \otimes N = 0$（$n \ge 1$ で $P_\bullet$ は完全）です。$N$ が入射的なら、$n \ge 1$ と $\psi \in \operatorname{Hom}(P_n, N)$ で $\psi d_{n+1} = 0$ のものを取ります。$\psi$ は $P_n/K_{n+1} \cong K_n$ を経由する写像 $\bar\psi\colon K_n \to N$ を与え、$K_n \subseteq P_{n-1}$ と入射性（定義 3.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）から $\bar\psi$ は $\chi\colon P_{n-1} \to N$ に拡張します。すると $\psi = \chi d_n = d_n^*\chi$ なので $H^n = 0$ です。

(3) $a_N$ が $P \otimes N$ に誘導する写像 $1 \otimes a_N$ は $a$ 倍写像なので、ホモロジーでも $a$ 倍です。$a_M$ の持ち上げとして $P_\bullet$ 上の $a$ 倍写像（鎖写像）が取れ、$H_n((a_P) \otimes 1)$ は $a$ 倍です。$aM = 0$ なら $a_M = 0$ で、$0$ の持ち上げとして零写像が取れるので、系 4.2 により $a$ 倍写像は $\operatorname{Tor}_n(0, N) = 0$ に等しくなります。$aN = 0$ なら $a_N = 0$ なので同様です。$\operatorname{Ann} M + \operatorname{Ann} N$ の元は和なので、両者を足せばよいです。$\operatorname{Ext}$ も $\varphi^*$、$g_*$ について同じ議論です。

(4) $1 \otimes (g + g') = 1 \otimes g + 1 \otimes g'$、$1 \otimes bg = b(1 \otimes g)$、$1 \otimes g''g = (1 \otimes g'')(1 \otimes g)$ で、ホモロジーを取る操作は和・スカラー倍・合成を保ちます。$P \otimes (N_1 \oplus N_2) \cong (P \otimes N_1) \oplus (P \otimes N_2)$ は複体の同型で（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)(3)）、直和の複体のホモロジーは成分ごとのホモロジーの直和です。$\operatorname{Hom}(P_n, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Hom}(P_n, N_1) \oplus \operatorname{Hom}(P_n, N_2)$ も同様です。

∎

次の補題は、短完全列 $0 \to K \to P \to M \to 0$ を使って $M$ の $\operatorname{Tor}$・$\operatorname{Ext}$ を $K$ のものに「1 段ずらす」ものです。この次元ずらしがこの章の多くの証明の要になります。

補題 4.4（次元ずらし）✓

$0 \to K \xrightarrow{i} P \to M \to 0$ を完全列とし、$P$ を射影加群とする。任意の $A$ 加群 $N$ について次が成り立つ。

1. $n \ge 1$ について $\operatorname{Tor}_{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n(K, N)$、$\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Ext}^n(K, N)$。
2. $\operatorname{Tor}_1(M, N) \cong \ker(i \otimes 1\colon K \otimes N \to P \otimes N)$、$\operatorname{Ext}^1(M, N) \cong \operatorname{Coker}(i^*\colon \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(K, N))$。

証明（補題 4.4）

$Q_\bullet \to K$ を射影分解とし、$P'_0 = P$、$P'_{n+1} = Q_n$、$d'_1 = i \circ \varepsilon_Q$、$d'_{n+1} = d^Q_n$（$n \ge 1$）とおきます。$\operatorname{Im} d'_1 = K = \ker(P \to M)$、$\ker d'_1 = \ker \varepsilon_Q = \operatorname{Im} d^Q_1$（$i$ は単射）なので、$P'_\bullet \to M$ は射影分解です。

(1) $n \ge 1$ のとき、$P' \otimes N$ の $n+2, n+1, n$ 次の部分は $Q \otimes N$ の $n+1, n, n-1$ 次の部分と微分を含めて一致するので、$H_{n+1}(P' \otimes N) = H_n(Q \otimes N)$ です。$\operatorname{Ext}$ も同様です。

(2) $H_1(P' \otimes N) = \ker(Q_0 \otimes N \to P \otimes N)/\operatorname{Im}(Q_1 \otimes N)$ です。定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ から $Q_1 \otimes N \to Q_0 \otimes N \to K \otimes N \to 0$ は完全で、$Q_0 \otimes N \to P \otimes N$ は $Q_0 \otimes N \to K \otimes N \xrightarrow{i \otimes 1} P \otimes N$ と分解します。よって $Q_0 \otimes N/\operatorname{Im}(Q_1 \otimes N) \cong K \otimes N$ のもとで、上の商は $\ker(i \otimes 1)$ に対応します。$\operatorname{Ext}$ では、命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2) から $\ker(\operatorname{Hom}(Q_0, N) \to \operatorname{Hom}(Q_1, N)) = \varepsilon_Q^* \operatorname{Hom}(K, N) \cong \operatorname{Hom}(K, N)$ で、$\operatorname{Hom}(P, N)$ の像はこの同一視で $i^* \operatorname{Hom}(P, N)$ になります。

∎

定理 4.5（Tor・Ext の長完全列）✓

1. $0 \to N' \xrightarrow{g} N \xrightarrow{h} N'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $M$ について、連結準同型を含む完全列

   $$\cdots \to \operatorname{Tor}_n(M, N') \to \operatorname{Tor}_n(M, N) \to \operatorname{Tor}_n(M, N'') \to \operatorname{Tor}_{n-1}(M, N') \to \cdots \to M \otimes N' \to M \otimes N \to M \otimes N'' \to 0$$ $$0 \to \operatorname{Hom}(M, N') \to \operatorname{Hom}(M, N) \to \operatorname{Hom}(M, N'') \to \operatorname{Ext}^1(M, N') \to \cdots \to \operatorname{Ext}^n(M, N') \to \operatorname{Ext}^n(M, N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N'') \to \operatorname{Ext}^{n+1}(M, N') \to \cdots$$

   がある。

2. $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $N$ について、連結準同型を含む完全列

   $$\cdots \to \operatorname{Tor}_n(M', N) \to \operatorname{Tor}_n(M, N) \to \operatorname{Tor}_n(M'', N) \to \operatorname{Tor}_{n-1}(M', N) \to \cdots \to M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N \to 0$$ $$0 \to \operatorname{Hom}(M'', N) \to \operatorname{Hom}(M, N) \to \operatorname{Hom}(M', N) \to \operatorname{Ext}^1(M'', N) \to \cdots \to \operatorname{Ext}^n(M'', N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N) \to \operatorname{Ext}^n(M', N) \to \operatorname{Ext}^{n+1}(M'', N) \to \cdots$$

   がある。

いずれも連結準同型以外の写像は、与えられた準同型が誘導する写像である。

証明（定理 4.5）

(1) $P_\bullet \to M$ を射影分解とします。各 $P_n$ は射影的なので平坦で（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)）、$0 \to P_n \otimes N' \to P_n \otimes N \to P_n \otimes N'' \to 0$ は完全です。$1 \otimes g$、$1 \otimes h$ は鎖写像なので、これは複体の短完全列で、補題 2.3 から長完全列が得られます。$0$ 次の項は 命題 4.3 の (1) で $\otimes$ に置き換わります。$\operatorname{Ext}$ は、定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2) から $0 \to \operatorname{Hom}(P_n, N') \to \operatorname{Hom}(P_n, N) \to \operatorname{Hom}(P_n, N'') \to 0$ が完全なので、コチェイン複体の短完全列（$C_n = C^{-n}$ と読み替えて 補題 2.3）から得られます。

(2) $M', M''$ の射影分解を取り、補題 3.4 で $M$ の射影分解 $P_\bullet$ と $f, g$ の持ち上げ $\iota, \pi$ を作ります。各 $n$ で $0 \to P'_n \to P_n \to P''_n \to 0$ は分裂するので、$\otimes N$ や $\operatorname{Hom}(-, N)$ を施しても分裂する短完全列のままです（命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3) の直和分解が保たれる）。よって複体の短完全列 $0 \to P' \otimes N \to P \otimes N \to P'' \otimes N \to 0$ と $0 \to \operatorname{Hom}(P'', N) \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P', N) \to 0$ が得られ、補題 2.3 を使います。$\iota, \pi$ は $f, g$ の持ち上げなので、誘導される写像は 系 4.2 により $\operatorname{Tor}_n(f, N)$ などに一致します。$0$ 次の項は 命題 4.3 の (1)（$M$ についての可換性）で $\otimes$ と $\operatorname{Hom}$ に置き換わります。

∎

$\operatorname{Tor}$ は第 1 変数の分解で定義しましたが、第 2 変数を分解して計算しても同じ結果になります。

定理 4.6（Tor の平衡性）✓

$M, N$ を $A$ 加群、$Q_\bullet \to N$ を $N$ の任意の射影分解とする。すべての $n \ge 0$ について $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong H_n(M \otimes Q_\bullet)$ である。とくに $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n(N, M)$ である。

証明（定理 4.6）

$n$ についての帰納法で、すべての $N$ とすべての射影分解 $Q_\bullet$ について同時に示します。

$n = 0$: 定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ から $H_0(M \otimes Q) = \operatorname{Coker}(M \otimes Q_1 \to M \otimes Q_0) \cong M \otimes N$ で、これは 命題 4.3 の (1) により $\operatorname{Tor}_0(M, N)$ に同型です。

$n \ge 1$: $L = \ker(\varepsilon_Q\colon Q_0 \to N)$ とおくと、$0 \to L \to Q_0 \to N \to 0$ は完全で、$Q'_j = Q_{j+1}$ とおいた $Q'_\bullet \to L$ は $L$ の射影分解です。定理 4.5 の (1) と、$Q_0$ が平坦なので $j \ge 1$ で $\operatorname{Tor}_j(M, Q_0) = 0$ であること（命題 4.3 の (2)）から、

$$\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong \operatorname{Tor}_{n-1}(M, L) \ (n \ge 2), \qquad \operatorname{Tor}_1(M, N) \cong \ker(M \otimes L \to M \otimes Q_0)$$

です。一方 $n \ge 2$ なら $M \otimes Q$ の $n+1, n, n-1$ 次の部分は $M \otimes Q'$ の $n, n-1, n-2$ 次の部分と一致するので、$H_n(M \otimes Q) = H_{n-1}(M \otimes Q') \cong \operatorname{Tor}_{n-1}(M, L)$（帰納法の仮定を $L$ と $Q'$ に使う）です。$n = 1$ なら、$Q_2 \to Q_1 \to L \to 0$ の完全性と右完全性から $M \otimes Q_1/\operatorname{Im}(M \otimes Q_2) \cong M \otimes L$ で、$M \otimes Q_1 \to M \otimes Q_0$ は $M \otimes L$ を経由するので、$H_1(M \otimes Q) \cong \ker(M \otimes L \to M \otimes Q_0)$ です。どちらの場合も $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong H_n(M \otimes Q)$ が従います。

最後の主張は、命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1) による複体の同型 $M \otimes Q_\bullet \cong Q_\bullet \otimes M$ から、$H_n(M \otimes Q) \cong H_n(Q \otimes M) = \operatorname{Tor}_n(N, M)$ となることです。

∎

同じ次元ずらしで、$\operatorname{Ext}$ は第 2 変数の入射分解でも計算できます。

命題 4.7（入射分解による Ext の計算）✓

$M, N$ を $A$ 加群、$N \to E^\bullet$ を $N$ の任意の入射分解とする。すべての $n \ge 0$ について $\operatorname{Ext}^n(M, N) \cong H^n(\operatorname{Hom}(M, E^\bullet))$ である。

証明（命題 4.7）

$n$ についての帰納法で、すべての $N$ と入射分解について同時に示します。$n = 0$: $0 \to N \to E^0 \to E^1$ は完全なので、命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $H^0(\operatorname{Hom}(M, E^\bullet)) \cong \operatorname{Hom}(M, N) \cong \operatorname{Ext}^0(M, N)$ です（命題 4.3 の (1)）。

$n \ge 1$: $C = E^0/\eta(N)$ とおくと $0 \to N \to E^0 \to C \to 0$ は完全で、$C \to E^1 \to E^2 \to \cdots$ は $C$ の入射分解です。定理 4.5 の (1) と $\operatorname{Ext}^j(M, E^0) = 0$（$j \ge 1$、命題 4.3 の (2)）から、$\operatorname{Ext}^1(M, N) \cong \operatorname{Coker}(\operatorname{Hom}(M, E^0) \to \operatorname{Hom}(M, C))$、$n \ge 2$ で $\operatorname{Ext}^n(M, N) \cong \operatorname{Ext}^{n-1}(M, C)$ です。他方、$0 \to C \to E^1 \to E^2$ の完全性と 命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $\ker(\operatorname{Hom}(M, E^1) \to \operatorname{Hom}(M, E^2)) \cong \operatorname{Hom}(M, C)$ なので $H^1(\operatorname{Hom}(M, E^\bullet))$ は同じ余核で、$n \ge 2$ では $H^n(\operatorname{Hom}(M, E^\bullet)) = H^{n-1}(\operatorname{Hom}(M, E^{\bullet + 1})) \cong \operatorname{Ext}^{n-1}(M, C)$（帰納法の仮定）です。

∎

例 4.8（Z 上の Tor と Ext）

$m \ge 1$ について、$\mathbb{Z}/m$ には自由分解 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m \to 0$ があります。アーベル群 $N$ とテンソルすると $0 \to N \xrightarrow{m} N \to 0$ なので

$$\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m, N) \cong \{ x \in N : mx = 0 \}, \qquad \operatorname{Tor}_0^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m, N) \cong N/mN$$

で、$n \ge 2$ では $0$ です。$\operatorname{Hom}$ を取ると $N \xrightarrow{m} N$ なので $\operatorname{Ext}^0 \cong \{x \in N : mx = 0\}$、$\operatorname{Ext}^1 \cong N/mN$ です。$\operatorname{Tor}_1$ は「$m$ 倍の核」、つまり $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z}$ に $N$ をテンソルしたときに失われた単射性を測っています。動機の例では $\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2$ です。

例 4.9（無限に続く極小自由分解）

体 $k$ 上の $A = k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は極大イデアル $\mathfrak{m} = (\varepsilon)$ をもつ局所環です。$\varepsilon$ 倍写像 $A \to A$ の核と像はともに $\varepsilon A$ なので、

$$\cdots \xrightarrow{\varepsilon} A \xrightarrow{\varepsilon} A \xrightarrow{\varepsilon} A \to k \to 0$$

は $k$ の自由分解で、微分の像は $\mathfrak{m}$ 倍に入るので極小です。$k$ とテンソルすると微分はすべて $0$ になり、すべての $n \ge 0$ で $\operatorname{Tor}_n^A(k, k) \cong k$ です。後の 定理 6.3 により、$k$ の射影次元は無限大です。

5. 平坦性の Tor 判定

テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 では平坦性を指標加群で特徴づけ、Tor を使わずにイデアル判定を証明しました。Tor を使うと、それは次のように言い換えられます。

命題 5.1（平坦性の Tor 判定）✓

$A$ 加群 $M$ について次は同値である。

1. $M$ は平坦である。
2. すべての $A$ 加群 $N$ とすべての $n \ge 1$ について $\operatorname{Tor}_n(N, M) = 0$。
3. すべての $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Tor}_1(N, M) = 0$。
4. $A$ のすべての有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ について $\operatorname{Tor}_1(A/\mathfrak{a}, M) = 0$。

定理 4.6 により、$\operatorname{Tor}_n(N, M)$ を $\operatorname{Tor}_n(M, N)$ に置き換えてもよい。

証明（命題 5.1）

(1)⇒(2) は 命題 4.3 の (2)（第 2 変数が平坦）、(2)⇒(3)⇒(4) は特別な場合です。(4)⇒(1): 短完全列 $0 \to \mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0$ に 定理 4.5 の (2) を $N = M$ として使うと、完全列

$$\operatorname{Tor}_1(A/\mathfrak{a}, M) \to \mathfrak{a} \otimes M \to A \otimes M$$

が得られます。仮定から左端は $0$ なので $\mathfrak{a} \otimes M \to A \otimes M = M$ は単射で、定理 4.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (4) により $M$ は平坦です。

∎

Noether 局所環上の有限生成加群では、剰余体 $k$ ひとつを試せば足ります。

証明の方針は次のとおりです。極小生成系の個数 $n$ から全射 $A^n \to M$ を作ってその核を $K$ とおき、$\operatorname{Tor}_1(k, M) = 0$ から $K/\mathfrak{m}K = 0$ を導きます。すると中山の補題で $K = 0$ となり、$M$ が $A^n$ と同型、つまり自由であることが分かります。

定理 5.2（局所平坦性判定）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。次は同値である。

1. $M$ は自由である。
2. $M$ は射影的である。
3. $M$ は平坦である。
4. $\operatorname{Tor}_1(k, M) = 0$（同じことだが $\operatorname{Tor}_1(M, k) = 0$）。

証明（定理 5.2）

(1)⇒(2) は 補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］、(2)⇒(3) は 命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)、(3)⇒(4) は 命題 5.1 です。

(4)⇒(1): $m_1, \ldots, m_n$ を $M$ の極小生成系とし、基底を $m_i$ に写す全射 $A^n \to M$ の核を $K$ とします。命題 3.6 の証明と同じく $K$ は有限生成です。$0 \to K \to A^n \to M \to 0$ に 定理 4.5 の (1) を $k$ について使うと、完全列

$$\operatorname{Tor}_1(k, M) \to k \otimes K \to k \otimes A^n \to k \otimes M \to 0$$

が得られます。左端は仮定から $0$ です。$k \otimes A^n \cong k^n$、$k \otimes M \cong M/\mathfrak{m}M$ で（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)(5)）、系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により $\dim_k M/\mathfrak{m}M = n$ なので、全射 $k^n \to M/\mathfrak{m}M$ は同次元の空間の間の全射として単射です。よって $K/\mathfrak{m}K \cong k \otimes K = 0$ で、定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $K = 0$、すなわち $M \cong A^n$ です。

∎

注意 5.3

有限生成の仮定は外せません。$A = \mathbb{Z}_{(p)}$（$p$ は素数）上の $\mathbb{Q}$ は $A$ の $0$ でない元の全体での局所化なので平坦ですが（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2)）、$\mathbb{Q} = p\mathbb{Q}$ なので $\mathbb{Q}/p\mathbb{Q} = 0$ で、自由加群 $A^{(I)} \ne 0$ では $A^{(I)}/pA^{(I)} \ne 0$ ですから自由ではありません。また「局所平坦性判定」の名は、より一般に局所環の準同型 $A \to B$ と有限生成 $B$ 加群について同じ形の判定が成り立つことに由来します。その一般形は Artin–Rees の補題を使って証明されますが、この章では使いません。

6. 射影次元と大域次元

定義 6.1（射影次元・入射次元・大域次元）↗

$A$ 加群 $M \ne 0$ の射影分解の長さの最小値を $M$ の射影次元といい $\operatorname{pd}_A M$ と書く（長さ有限の射影分解がなければ $\infty$）。同様に、入射分解の長さ（$E^n \ne 0$ となる $n$ の上限）の最小値を入射次元 $\operatorname{id}_A M$ という。$\operatorname{gldim} A = \sup\{ \operatorname{pd}_A M : M \text{ は } A \text{ 加群} \}$ を $A$ の大域次元という。$\operatorname{pd} 0 = -\infty$ と約束する。

$\operatorname{pd} M = 0$ は $M$ が射影的であることにほかなりません。

補題 6.2（射影次元と Ext の消滅）✓

$M$ を $A$ 加群、$n \ge 0$ とする。次は同値である。

1. $\operatorname{pd} M \le n$。
2. すべての $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) = 0$。
3. $M$ のある射影分解（同じことだが任意の射影分解）について、第 $n$ syzygy $K_n$ は射影的である。

このとき、すべての $i > n$ と $N$ について $\operatorname{Tor}_i(M, N) = 0 = \operatorname{Ext}^i(M, N)$ である。

証明（補題 6.2）

(1)⇒(2): 長さ $n$ 以下の射影分解で計算すれば（系 4.2） $\operatorname{Hom}(P_{n+1}, N) = 0$ です。同じ計算で最後の主張も出ます。

(2)⇒(3): 任意の射影分解 $P_\bullet \to M$ を取ります。$0 \to K_{i+1} \to P_i \to K_i \to 0$（定義 3.1）に 補題 4.4 の (1) を $i = 0, 1, \ldots, n-1$ について順に使うと $\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Ext}^n(K_1, N) \cong \cdots \cong \operatorname{Ext}^1(K_n, N)$ です（$n = 0$ なら $K_0 = M$ でこの段は不要）。$0 \to K_{n+1} \xrightarrow{i} P_n \to K_n \to 0$ に 補題 4.4 の (2) を $N = K_{n+1}$ として使うと、$\operatorname{Ext}^1(K_n, K_{n+1}) = 0$ から $i^*\colon \operatorname{Hom}(P_n, K_{n+1}) \to \operatorname{Hom}(K_{n+1}, K_{n+1})$ は全射で、$r \circ i = \mathrm{id}$ となる $r$ があります。命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］ により $P_n \cong K_{n+1} \oplus K_n$ で、$K_n$ は射影加群の直和因子なので射影的です（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。

(3)⇒(1): $0 \to K_n \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ は長さ $n$ 以下の射影分解です（$n = 0$ なら $M = K_0$ 自身）。

∎

Noether 局所環では、射影次元は剰余体との $\operatorname{Tor}$ で読めます。

定理 6.3（射影次元と Tor）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、$F_\bullet \to M$ を極小自由分解（命題 3.6）とし、$b_i = \operatorname{rank} F_i$ とする。

1. $b_i = \dim_k \operatorname{Tor}_i(M, k)$ である。とくに $b_i$ は極小自由分解の取り方によらない。
2. $\operatorname{pd} M = \sup\{ i : \operatorname{Tor}_i(M, k) \ne 0 \}$ であり、これは極小自由分解の長さに等しい。
3. $n \ge 0$ について、$\operatorname{pd} M \le n \iff \operatorname{Tor}_{n+1}(M, k) = 0$。

証明（定理 6.3）

(1) $F_i \otimes k \cong k^{b_i}$ です（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)(4)）。$x \in F_i$ について極小性から $d_i x = \sum_j a_j e_j$（$e_j$ は $F_{i-1}$ の基底、$a_j \in \mathfrak{m}$）と書け、$(d_i \otimes 1)(x \otimes 1) = \sum_j e_j \otimes a_j \cdot 1 = 0$ です。純テンソルが生成するので $d \otimes 1 = 0$ で、$\operatorname{Tor}_i(M, k) = H_i(F \otimes k) = F_i \otimes k \cong k^{b_i}$ です。

(2) $F_\bullet$ 自身が長さ $\ell = \sup\{ i : b_i \ne 0 \}$ の射影分解なので $\operatorname{pd} M \le \ell$ です。逆に長さ $n$ の射影分解があれば、それで計算して（系 4.2）$i > n$ で $\operatorname{Tor}_i(M, k) = 0$、(1) から $b_i = 0$ なので $\ell \le n$ です。よって $\operatorname{pd} M = \ell = \sup\{ i : \operatorname{Tor}_i(M, k) \ne 0 \}$ です。

(3) ⇒ は (2) から従います。⇐: $\operatorname{Tor}_{n+1}(M, k) = 0$ なら $b_{n+1} = 0$、すなわち $F_{n+1} = 0$ です。$i \ge n+2$ で $F_i = 0$ を帰納的に示します。$F_{i-1} = 0$ なら $d_i = 0$ なので、完全性から $F_i = \ker d_i = \operatorname{Im} d_{i+1} \subseteq \mathfrak{m}F_i$ です。$F_i$ は有限生成なので 定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $F_i = 0$ です。よって $\operatorname{pd} M \le n$ です。

∎

大域次元はすべての加群（有限生成でないものも含む）にわたる上限ですが、巡回加群 $A/\mathfrak{a}$ だけを見れば足ります。

補題 6.4（大域次元は巡回加群で決まる）✓

任意の環 $A$ について $\operatorname{gldim} A = \sup\{ \operatorname{pd}(A/\mathfrak{a}) : \mathfrak{a} \text{ は } A \text{ のイデアル} \}$ である。

証明（補題 6.4）

右辺を $n$ とおきます。$\operatorname{gldim} A$ はすべての加群にわたる上限なので $\operatorname{gldim} A \ge n$ です。$n < \infty$ として任意の $M$ で $\operatorname{pd} M \le n$ を示します。

任意の $A$ 加群 $N$ を取り、入射分解（命題 3.2）から完全列 $0 \to N \to E^0 \to \cdots \to E^{n-1} \to C \to 0$（$C = \operatorname{Coker}(E^{n-2} \to E^{n-1})$。$n = 1$ なら $C = E^0/N$、$n = 0$ なら $C = N$）を作ります。$0 \to C^j \to E^j \to C^{j+1} \to 0$（$C^0 = N$、$C^n = C$）に 定理 4.5 の (1) を使うと、$i \ge 1$ で $\operatorname{Ext}^i(X, E^j) = 0$（命題 4.3 の (2)）なので $\operatorname{Ext}^{i}(X, C^{j+1}) \cong \operatorname{Ext}^{i+1}(X, C^j)$ です。よって任意の $X$ について

$$\operatorname{Ext}^1(X, C) \cong \operatorname{Ext}^2(X, C^{n-1}) \cong \cdots \cong \operatorname{Ext}^{n+1}(X, N)$$

です。$X = A/\mathfrak{a}$ なら $\operatorname{pd} X \le n$ なので右端は $0$ です（補題 6.2）。$0 \to \mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0$ に 補題 4.4 の (2) を使うと、$\operatorname{Ext}^1(A/\mathfrak{a}, C) = 0$ は $\operatorname{Hom}(A, C) \to \operatorname{Hom}(\mathfrak{a}, C)$ の全射性、すなわち $\mathfrak{a} \to C$ が $A \to C$ に拡張できることを意味します。定理 3.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により $C$ は入射的です。すると任意の $M$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Ext}^1(M, C) = 0$（命題 4.3 の (2)）です。$N$ は任意なので 補題 6.2 から $\operatorname{pd} M \le n$ です。

∎

系 6.5（Noether 局所環の大域次元）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。$\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd}_A k$ であり、これは有限生成加群の射影次元の上限にも等しい。

証明（系 6.5）

有限生成加群の射影次元の上限を $s$ とおくと、$\operatorname{pd} k \le s \le \operatorname{gldim} A$ です。補題 6.4 と $A/\mathfrak{a}$ の有限生成性から $\operatorname{gldim} A \le s$ です。残りは $s \le \operatorname{pd} k$ で、$\operatorname{pd} k = n < \infty$ としてよいです。$k$ の長さ $n$ の射影分解 $Q_\bullet$ を取ると、有限生成加群 $M \ne 0$ について 定理 4.6 から $\operatorname{Tor}_{n+1}(M, k) \cong H_{n+1}(M \otimes Q) = 0$ で、定理 6.3 の (3) により $\operatorname{pd} M \le n$ です。

∎

たとえば 例 4.9 の環は大域次元が無限大です。PID $A$ では、イデアル $\mathfrak{a} = (a)$ について $a \ne 0$ なら $A \xrightarrow{a} \mathfrak{a}$ が同型（整域なので単射）なので $0 \to A \xrightarrow{a} A \to A/\mathfrak{a} \to 0$ が長さ $1$ の自由分解になり、補題 6.4 から $\operatorname{gldim} A \le 1$ です。（$a = 0$ なら $A/\mathfrak{a} = A$ は自由です。）とくに $\mathbb{Z}$ 上では $n \ge 2$ の $\operatorname{Tor}_n$、$\operatorname{Ext}^n$ はすべて消えます（補題 6.2）。

7. 正則列と深さ

定義 7.1（正則列）↗

$M$ を $A$ 加群とする。$A$ の元の列 $x_1, \ldots, x_r$ が $M$ 正則列であるとは、次の 2 条件を満たすことをいう。

1. 各 $i = 1, \ldots, r$ について、$x_i$ は $M/(x_1, \ldots, x_{i-1})M$ の零因子でない（定義 2.1［準素分解と随伴素イデアル］）。すなわち $x_i \bar m = 0$ なら $\bar m = 0$。
2. $M/(x_1, \ldots, x_r)M \ne 0$。

$I$ をイデアルとするとき、すべての $x_i$ が $I$ に属する $M$ 正則列を $I$ の中の $M$ 正則列といい、$I$ の元を後ろに付け足して $M$ 正則列を延ばせないとき極大という。$M = A$ のとき単に正則列という。

例 7.2

体 $k$ 上の多項式環 $A = k[x_1, \ldots, x_n]$ で、$x_1, \ldots, x_n$ は正則列です。$A/(x_1, \ldots, x_{i-1}) \cong k[x_i, \ldots, x_n]$ は整域で、$x_i$ はそこで $0$ でないので零因子ではなく、$A/(x_1, \ldots, x_n) \cong k \ne 0$ です。

補題 7.3（正則列の基本性質）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ を $IM \ne M$ を満たすイデアルとする。

1. $I$ の中の $M$ 正則列は、有限回の付け足しで極大な $M$ 正則列に延ばせる。
2. 次は同値である: (a) $I$ のどの元も $M$ の零因子である（長さ $1$ の $M$ 正則列が $I$ の中にない）。(b) $\operatorname{Hom}(A/I, M) \ne 0$。(c) ある $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ について $I \subseteq \mathfrak{p}$。
3. $x_1, \ldots, x_r$ が $I$ の中の $M$ 正則列なら、$x_2, \ldots, x_r$ は $I$ の中の $M/x_1M$ 正則列であり、前者が極大なことと後者が極大なことは同値である。

証明（補題 7.3）

(1) $x_1, x_2, \ldots$ が $I$ の中の $M$ 正則列の延長の列だとすると、$(x_1) \subseteq (x_1, x_2) \subseteq \cdots$ は真に増大します。実際 $x_{i+1} \in (x_1, \ldots, x_i)$ なら $x_{i+1}$ は $M/(x_1, \ldots, x_i)M$ を零化しますが、この加群は全射 $M/(x_1, \ldots, x_i)M \to M/IM \ne 0$ をもつので $0$ でなく、$x_{i+1}$ がその零因子になってしまいます。$A$ は Noether なので（定義 5.1［多項式環と体の拡大］）イデアルの真の増大列は有限で止まり、延長はいつか不可能になります。なお $IM \ne M$ なので、延長が条件 2 を壊すことはありません。

(2) $M \ne 0$ に注意します。(b)⇒(a): $0 \ne f\colon A/I \to M$ と $x \in I$ について $x f(\bar 1) = f(\bar x) = 0$、$f(\bar 1) \ne 0$ なので $x$ は零因子です。(a)⇒(c): 定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3) から $I \subseteq Z(M) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M} \mathfrak{p}$ で、$\operatorname{Ass} M$ は有限なので（系 3.2［準素分解と随伴素イデアル］）、補題 2.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1) によりある $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M$ で $I \subseteq \mathfrak{p}$ です。(c)⇒(b): $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m)$ と書くと、$a \mapsto am$ は $A/\mathfrak{p}$、したがって $A/I$ から $M$ への $0$ でない準同型を与えます（$m \ne 0$ は $\mathfrak{p} \ne A$ から）。

(3) $(M/x_1M)/(x_2, \ldots, x_i)(M/x_1M) \cong M/(x_1, \ldots, x_i)M$ なので、条件 1・2 はそのまま言い換えられます。極大性も、$y \in I$ を付け足せるかどうかが両者で同じ条件になることから同値です。$I(M/x_1M) \ne M/x_1M$ は $M/IM \ne 0$ から従います。

∎

次の定理は、「正則列の長さ」という手で数える量を、$\operatorname{Ext}$ という計算で決まる量に言い換えるものです。証明は正則列の長さ $r$ についての帰納法で、最初の元 $x_1$ で割って $M$ を $M/x_1M$ に取り替えると、正則列の長さと $\operatorname{Ext}$ が初めて $0$ でなくなる次数が、どちらも $1$ ずつ下がることを使います。

定理 7.4（深さと Ext（Rees の定理））✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ を $IM \ne M$ を満たすイデアルとする。$I$ の中の極大な $M$ 正則列の長さはすべて等しく、その値は

$$\min\{ i \ge 0 : \operatorname{Ext}^i_A(A/I, M) \ne 0 \}$$

に等しい。

証明（定理 7.4）

$x_1, \ldots, x_r$ を $I$ の中の極大な $M$ 正則列とし、「$i < r$ で $\operatorname{Ext}^i(A/I, M) = 0$、$\operatorname{Ext}^r(A/I, M) \ne 0$」を $r$ についての帰納法で示します。これが示されれば $r$ は $\operatorname{Ext}$ だけで決まるので、主張が従います。

$r = 0$: 極大性から $I$ の元はすべて $M$ の零因子で、補題 7.3 の (2) から $\operatorname{Ext}^0(A/I, M) \cong \operatorname{Hom}(A/I, M) \ne 0$ です（命題 4.3 の (1)）。

$r \ge 1$: $x_1$ は $M$ の零因子でないので $0 \to M \xrightarrow{x_1} M \to M/x_1M \to 0$ は完全です。定理 4.5 の (1) から完全列

$$\operatorname{Ext}^i(A/I, M) \xrightarrow{x_1} \operatorname{Ext}^i(A/I, M) \to \operatorname{Ext}^i(A/I, M/x_1M) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(A/I, M) \xrightarrow{x_1} \operatorname{Ext}^{i+1}(A/I, M)$$

が得られます。$x_1 \in I = \operatorname{Ann}(A/I)$ なので、命題 4.3 の (3) により $x_1$ 倍写像は $0$ で、短完全列

$$0 \to \operatorname{Ext}^i(A/I, M) \to \operatorname{Ext}^i(A/I, M/x_1M) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(A/I, M) \to 0$$

が各 $i \ge 0$ で得られます。補題 7.3 の (3) から $x_2, \ldots, x_r$ は $I$ の中の極大な $M/x_1M$ 正則列なので、帰納法の仮定から $\operatorname{Ext}^i(A/I, M/x_1M)$ は $i < r-1$ で $0$、$i = r-1$ で $0$ でありません。短完全列から、$1 \le j \le r-1$ について $\operatorname{Ext}^j(A/I, M)$ は $\operatorname{Ext}^{j-1}(A/I, M/x_1M) = 0$ の商なので $0$ です。$j = 0$ では、$x_1 \in I$ が零因子でないので 補題 7.3 の (2) から $\operatorname{Hom}(A/I, M) = 0$ です。最後に $i = r-1$ の短完全列で左端 $\operatorname{Ext}^{r-1}(A/I, M) = 0$ なので、$\operatorname{Ext}^r(A/I, M) \cong \operatorname{Ext}^{r-1}(A/I, M/x_1M) \ne 0$ です。

∎

定義 7.5（深さ）↗

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ をイデアルとする。$IM \ne M$ のとき、定理 7.4 の共通の長さを $M$ の $I$ 深さといい $\operatorname{depth}_I M$ と書く（$IM = M$ なら $\infty$ と約束する）。$(A, \mathfrak{m})$ が局所環のとき $\operatorname{depth} M = \operatorname{depth}_{\mathfrak{m}} M$ を $M$ の深さという。

局所環 $(A, \mathfrak{m})$ と有限生成加群 $M \ne 0$ では、定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $\mathfrak{m}M \ne M$ なので、$\operatorname{depth} M$ は有限の値で $\operatorname{depth} M = \min\{ i : \operatorname{Ext}^i(k, M) \ne 0 \}$ です。

系 7.6（深さの基本性質）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ を $IM \ne M$ を満たすイデアルとする。

1. $I$ の中の任意の $M$ 正則列の長さは $\operatorname{depth}_I M$ 以下である。
2. $x \in I$ が $M$ の零因子でなければ $\operatorname{depth}_I(M/xM) = \operatorname{depth}_I M - 1$ である。
3. $\operatorname{depth}_I(M_1 \oplus M_2) = \min\{\operatorname{depth}_I M_1, \operatorname{depth}_I M_2\}$（$IM_i \ne M_i$ のとき）。とくに $b \ge 1$ について $\operatorname{depth}_I A^b = \operatorname{depth}_I A$ である。

証明（系 7.6）

(1) 補題 7.3 の (1) で極大なものに延ばせば、その長さが $\operatorname{depth}_I M$ です。(2) $x$ は長さ $1$ の $M$ 正則列なので（$IM \ne M$ から $M/xM \ne 0$）、極大な $x, x_2, \ldots, x_r$ に延ばすと、補題 7.3 の (3) から $x_2, \ldots, x_r$ は $M/xM$ の極大な正則列です。(3) 命題 4.3 の (4) から $\operatorname{Ext}^i(A/I, M_1 \oplus M_2) \cong \operatorname{Ext}^i(A/I, M_1) \oplus \operatorname{Ext}^i(A/I, M_2)$ なので、定理 7.4 から従います。

∎

局所環では正則列の順序を入れ替えてもかまいません。

命題 7.7（正則列の並べ替え）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とし、$x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{m}$ を $M$ 正則列とする。その任意の並べ替えも $M$ 正則列である。

証明（命題 7.7）

並べ替えは隣り合う 2 項の入れ替えの合成なので、$x_i, x_{i+1}$ を入れ替えた列を考えます。$N = M/(x_1, \ldots, x_{i-1})M$ とおくと、$x = x_i$、$y = x_{i+1}$ について「$x, y$ が $N$ 正則列なら $y, x$ も $N$ 正則列」を示せば足ります（残りの項の条件と条件 2 は、イデアル $(x_1, \ldots, x_r)$ と途中のイデアルが変わらないので保たれます）。$N$ は有限生成です。

$y$ は $N$ の零因子でない。 $K = \{ n \in N : yn = 0 \}$ とおきます。$n \in K$ なら $N/xN$ で $y\bar n = 0$ で、$y$ は $N/xN$ の零因子でないので $n = xn_1$（$n_1 \in N$）と書けます。$xyn_1 = yn = 0$ と $x$ が $N$ の零因子でないことから $yn_1 = 0$、すなわち $n_1 \in K$ です。よって $K = xK$ です。$K$ は Noether 加群 $N$ の部分加群なので有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）、$x \in \mathfrak{m} = \operatorname{Jac}(A)$ なので 定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $K = 0$ です。

$x$ は $N/yN$ の零因子でない。 $xn = yn'$ とします。$N/xN$ で $y\bar n' = 0$ なので $n' = xn''$ と書け、$xn = xyn''$、$x$ が零因子でないことから $n = yn''$ です。

最後に、$N/(y, x)N = N/(x, y)N$ は元の列の条件 2 から $0$ ではありません（$N/(x,y)N$ は $M/(x_1, \ldots, x_r)M \ne 0$ に全射する）。

∎

注意 7.8

局所性（または $x_i \in \mathfrak{m}$）の仮定は外せません。体 $k$ 上の $A = k[x, y, z]$ で、$x, y(1-x), z(1-x)$ は正則列です（$x$ で割ると $y, z$ になる）。しかし $y(1-x), z(1-x), x$ は正則列ではありません。$A/(y(1-x))$ で $z(1-x) \cdot \bar y = \overline{z \cdot y(1-x)} = 0$ ですが、$y \notin (y(1-x))$（$y = f \cdot y(1-x)$ なら $1 = f(1-x)$ となり次数が合わない）だからです。

深さは次元で上から抑えられます。次元の定義は Krull 次元と単項イデアル定理 によります。

命題 7.9（深さと次元）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とする。任意の $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ について $\operatorname{depth} M \le \dim A/\mathfrak{p}$ である。とくに $\operatorname{depth} M \le \dim A$ であり、$\operatorname{depth} A \le \dim A$ である。

証明（命題 7.9）

$\operatorname{depth} M = d$ についての帰納法で、すべての $M$ と $\mathfrak{p}$ について示します。$d = 0$ なら示すことはありません。

$d \ge 1$ とし、$M$ の零因子でない $x \in \mathfrak{m}$ を取ります。$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m_0)$（$m_0 \ne 0$）なので $\mathfrak{p}$ の元は零因子で、$x \notin \mathfrak{p}$ です。$N = \{ m \in M : \mathfrak{p}m = 0 \}$ とおくと $m_0 \in N$ なので $N \ne 0$ で、$N$ は有限生成です（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。

$N \cap xM = xN$ を示します。$N$ は部分加群なので $xN \subseteq N \cap xM$ です。逆に $xm \in N$ なら $x(\mathfrak{p}m) = \mathfrak{p}(xm) = 0$、$x$ が零因子でないことから $\mathfrak{p}m = 0$、すなわち $m \in N$ です。よって $N/xN \to M/xM$ は単射です。定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $N/xN \ne 0$ で、定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) から $\mathfrak{q} \in \operatorname{Ass}(N/xN)$ があり、命題 2.3［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) から $\mathfrak{q} \in \operatorname{Ass}(M/xM)$ です。$N/xN$ は $\mathfrak{p}$ と $x$ で零化されるので $\mathfrak{q} \supseteq \mathfrak{p} + xA \supsetneq \mathfrak{p}$ です。

$A/\mathfrak{q}$ の素イデアルの鎖は $\mathfrak{q}$ を含む $A$ の素イデアルの鎖 $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{q}_s$ に対応し（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、先頭に $\mathfrak{p}$ を付けた $\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{q}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{q}_s$ は $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルの長さ $s+1$ の鎖です。定義 2.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $\dim A/\mathfrak{q} + 1 \le \dim A/\mathfrak{p}$ です。系 7.6 の (2) から $\operatorname{depth}(M/xM) = d - 1$ なので、帰納法の仮定を $M/xM \ne 0$ と $\mathfrak{q}$ に使うと $d - 1 \le \dim A/\mathfrak{q} \le \dim A/\mathfrak{p} - 1$ です。

最後の主張: $A/\mathfrak{p}$ の素イデアルの鎖は $A$ の素イデアルの鎖なので $\dim A/\mathfrak{p} \le \dim A$ で、$\operatorname{Ass}(M) \ne \varnothing$（定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (2)）です。

∎

例 7.10

体 $k$ 上の $B = k[x, y]/(x^2, xy)$ を $\mathfrak{n} = (x, y)$ で局所化した $A = B_{\mathfrak{n}}$ を考えます。$\bar x \ne 0$ で $\mathfrak{m}\bar x = 0$ なので $\mathfrak{m} = \operatorname{Ann}(\bar x) \in \operatorname{Ass}(A)$ となり、命題 7.9 から $\operatorname{depth} A \le \dim A/\mathfrak{m} = 0$ です。一方 $\bar x^2 = 0$ なのですべての素イデアルは $\bar x$ を含み、$A$ の素イデアルは $A/(\bar x) \cong k[y]_{(y)}$ の素イデアル $0 \subsetneq (y)$ に対応するので $\dim A = 1$ です。このように $\operatorname{depth} A < \dim A$ となるのは、埋没素イデアル $\mathfrak{m}$ があるためです。

8. Koszul 複体

正則列 $x_1, \ldots, x_n$ で割った剰余環 $A/(x_1, \ldots, x_n)$ には、具体的な自由分解があります。

定義 8.1（Koszul 複体）↗

$x = (x_1, \ldots, x_n) \in A^n$ とする。$p = 0, \ldots, n$ について、$K_p(x)$ を $\{1, \ldots, n\}$ の $p$ 元部分集合 $S$ を添字とする基底 $e_S$ をもつ自由加群（階数 $\binom{n}{p}$）とし、$p < 0$、$p > n$ では $K_p(x) = 0$ とする。$S = \{ s_1 < \cdots < s_p \}$ について

$$d(e_S) = \sum_{j=1}^{p} (-1)^{j-1} x_{s_j}\, e_{S \setminus \{s_j\}}$$

で $d\colon K_p(x) \to K_{p-1}(x)$ を定める（$p = 0$ では $d = 0$）。これを $x$ の Koszul 複体という。$A$ 加群 $M$ について $K(x; M) = K(x) \otimes M$、$H_p(x; M) = H_p(K(x; M))$ と書く。

$e_S$ を $e_{s_1} \wedge \cdots \wedge e_{s_p}$ と読めば $K_p(x)$ は $A^n$ の $p$ 次外積冪で（体上の場合は 外積冪（定義 5.1）［テンソル積と外積代数］ と その基底（定理 5.3）［テンソル積と外積代数］）、$d$ は $e_{s_1} \wedge \cdots \wedge e_{s_p} \mapsto \sum_j (-1)^{j-1} x_{s_j} e_{s_1} \wedge \cdots \widehat{e_{s_j}} \cdots \wedge e_{s_p}$ です。以下では外積冪の一般論は使わず、上の基底による定義だけを使います。

$d \circ d = 0$ を確かめます。$d(d(e_S))$ で $j < l$ について $x_{s_j} x_{s_l} e_{S \setminus \{s_j, s_l\}}$ の係数を見ると、先に $s_j$ を除けば $(-1)^{j-1}$、次に（位置が $l-1$ になった）$s_l$ を除けば $(-1)^{l-2}$、逆の順では $(-1)^{l-1}(-1)^{j-1}$ なので、和は $(-1)^{j+l-3} + (-1)^{j+l-2} = 0$ です。また $K_1(x; M) = M^n \to K_0(x; M) = M$ は $(m_i) \mapsto \sum_i x_i m_i$ なので、$H_0(x; M) = M/(x_1, \ldots, x_n)M$ です。

補題 8.2（Koszul 複体の長完全列）✓

$n \ge 1$、$x' = (x_1, \ldots, x_{n-1})$ とし、$M$ を $A$ 加群とする。各 $p$ について完全列

$$\cdots \to H_p(x'; M) \to H_p(x; M) \to H_{p-1}(x'; M) \xrightarrow{\ \pm x_n\ } H_{p-1}(x'; M) \to H_{p-1}(x; M) \to \cdots$$

がある。ここで $\pm x_n$ は $(-1)^{p-1} x_n$ 倍写像である。

証明（補題 8.2）

$K_p(x)$ の基底は、$n \notin S$ の $e_S$（$K_p(x')$ の基底と同じ）と、$T \subseteq \{1, \ldots, n-1\}$、$|T| = p-1$ についての $e_{T \cup \{n\}}$ に分かれます。$n$ は最大なので $T \cup \{n\}$ の中で $n$ は $p$ 番目にあり、

$$d(e_{T \cup \{n\}}) = \sum_{j=1}^{p-1} (-1)^{j-1} x_{t_j}\, e_{(T \setminus \{t_j\}) \cup \{n\}} + (-1)^{p-1} x_n\, e_T$$

です。そこで $\iota\colon K(x') \to K(x)$ を $e_S \mapsto e_S$、$\pi\colon K_p(x) \to K_{p-1}(x')$ を $e_{T \cup \{n\}} \mapsto e_T$、$e_S \mapsto 0$（$n \notin S$）で定めると、上の式から $\iota$ と $\pi$ は鎖写像（$\pi$ の行き先は $K(x')$ を 1 次ずらした複体 $K(x')[-1]$、$K(x')[-1]_p = K_{p-1}(x')$）で、$0 \to K(x') \to K(x) \to K(x')[-1] \to 0$ は各次数で分裂する短完全列です。$\otimes M$ を施しても分裂する短完全列なので、補題 2.3 から長完全列が得られます。$H_p(K(x')[-1] \otimes M) = H_{p-1}(x'; M)$ です。

連結準同型を計算します。$z = \sum_T e_T \otimes m_T \in K_{p-1}(x'; M)$ が輪体なら、その持ち上げ $\tilde z = \sum_T e_{T \cup \{n\}} \otimes m_T$ について、上の式と $d z = 0$ から $d\tilde z = (-1)^{p-1} x_n z$（$\iota$ で埋め込んだもの）です。補題 2.3 の記述から連結準同型は $[z] \mapsto (-1)^{p-1} x_n [z]$ です。

∎

定理 8.3（正則列の Koszul 複体）✓

$A$ 加群 $M$ と $x_1, \ldots, x_n \in A$ について、各 $i$ で $x_i$ が $M/(x_1, \ldots, x_{i-1})M$ の零因子でないとする。このとき $p \ge 1$ で $H_p(x; M) = 0$、$H_0(x; M) = M/(x_1, \ldots, x_n)M$ である。とくに $x_1, \ldots, x_n$ が正則列なら、$K(x) \to A/(x_1, \ldots, x_n)$ は長さ $n$ の自由分解であり、$\operatorname{pd} A/(x_1, \ldots, x_n) \le n$ である。

証明（定理 8.3）

$n$ についての帰納法です。$n = 0$ なら $K(\,; M)$ は $0$ 次の $M$ だけなので主張は成り立ちます。$n \ge 1$ とし、$x' = (x_1, \ldots, x_{n-1})$ に帰納法の仮定を使うと、$p \ge 1$ で $H_p(x'; M) = 0$、$H_0(x'; M) = M/(x')M$ です。補題 8.2 の完全列で、$p \ge 2$ なら $H_p(x'; M) = 0 \to H_p(x; M) \to H_{p-1}(x'; M) = 0$ から $H_p(x; M) = 0$ です。$p = 1$ では

$$0 = H_1(x'; M) \to H_1(x; M) \to M/(x')M \xrightarrow{\ x_n\ } M/(x')M$$

が完全で、仮定から右の $x_n$ 倍は単射なので $H_1(x; M) = 0$ です。$H_0$ は定義の後で計算しました。$M = A$ の場合、$K(x)$ は有限階数の自由加群の複体で、$p \ge 1$ で完全、$H_0 = A/(x)$ なので自由分解です。

∎

例 8.4

体 $k$ 上の $A = k[x, y]$ で $x, y$ は正則列なので（例 7.2）、

$$0 \to A \xrightarrow{\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}} A^2 \xrightarrow{\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}} A \to k \to 0$$

は $k = A/(x, y)$ の自由分解です（$d(e_{12}) = x e_2 - y e_1$）。極大イデアル $\mathfrak{n} = (x, y)$ で局所化すると、定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ によって $A_{\mathfrak{n}}$ 上の自由分解のままで、行列の成分は $\mathfrak{n}A_{\mathfrak{n}}$ に入るので極小です。定理 6.3 と 系 6.5 から $\operatorname{pd} k = 2 = \operatorname{gldim} A_{\mathfrak{n}}$ で、$\operatorname{Tor}_p(k, k) \cong k^{\binom{2}{p}}$ です。

9. Auslander–Buchsbaum の公式

射影次元（自由加群からの距離）と深さ（正則列の長さ）は、射影次元が有限なら和が環だけで決まります。

証明では、$d = \operatorname{depth} A$ が「$i < d$ なら $\operatorname{Ext}^i(k, A) = 0$」という意味であることを繰り返し使います。自由加群 $F_0 = A^{b_0}$ についても $\operatorname{Ext}^i(k, F_0)$ が $i < d$ で $0$ になるので、$0 \to K \to F_0 \to M \to 0$ の長完全列で $M$ と $K$ の $\operatorname{Ext}$ が一段ずれて一致する範囲が分かり、そこから $\operatorname{depth} M$ が読み取れます。

定理 9.1（Auslander–Buchsbaum の公式）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とし、$\operatorname{pd} M < \infty$ とする。このとき

$$\operatorname{pd} M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} A$$

である。

証明（定理 9.1）

$d = \operatorname{depth} A$ とし、$p = \operatorname{pd} M$ についての帰納法で示します。深さは 定理 7.4 により $\operatorname{Ext}^i(k, -)$ が初めて $0$ でなくなる $i$ として扱います。$F_\bullet \to M$ を極小自由分解とすると、定理 6.3 からその長さは $p$ です。

$p = 0$。 $M$ は射影的なので自由で（定理 5.2）、$M \cong A^b$（$b \ge 1$）です。系 7.6 の (3) から $\operatorname{depth} M = d$ です。

$p = 1$。 極小自由分解は $0 \to A^{b_1} \xrightarrow{\varphi} A^{b_0} \to M \to 0$（$b_0, b_1 \ge 1$）で、$\varphi$ の行列成分 $a_{jl}$ はすべて $\mathfrak{m}$ に入ります。$\pi_l\colon A^{b_1} \to A$ を第 $l$ 成分、$\iota_j\colon A \to A^{b_0}$ を第 $j$ 成分への包含とすると $\varphi = \sum_{j,l} a_{jl}\, \iota_j \pi_l$ なので、命題 4.3 の (4) から

$$\operatorname{Ext}^i(k, \varphi) = \sum_{j,l} a_{jl} \operatorname{Ext}^i(k, \iota_j) \operatorname{Ext}^i(k, \pi_l)$$

です。$a_{jl} \in \mathfrak{m} = \operatorname{Ann} k$ は $\operatorname{Ext}^i(k, A^{b_0})$ を零化するので（同 (3)）、$\operatorname{Ext}^i(k, \varphi) = 0$ です。定理 4.5 の (1) の長完全列は、$\varphi$ が誘導する写像がすべて $0$ なので、

$$0 \to \operatorname{Hom}(k, A^{b_1}) \xrightarrow{0} \operatorname{Hom}(k, A^{b_0}), \qquad 0 \to \operatorname{Ext}^i(k, A^{b_0}) \to \operatorname{Ext}^i(k, M) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(k, A^{b_1}) \to 0 \quad (i \ge 0)$$

に分かれます。前者から $\operatorname{Hom}(k, A)^{b_1} \cong \operatorname{Hom}(k, A^{b_1}) = 0$、すなわち $d \ge 1$ です。後者と 命題 4.3 の (4) の直和分解から、$\operatorname{Ext}^i(k, M) \ne 0$ は「$\operatorname{Ext}^i(k, A) \ne 0$ または $\operatorname{Ext}^{i+1}(k, A) \ne 0$」と同値です。これを満たす最小の $i$ は $d - 1$ なので、$\operatorname{depth} M = d - 1$ です。

$p \ge 2$。 $K = \operatorname{Im} d_1 = \ker(F_0 \to M)$ とおきます（$K = 0$ なら $M \cong F_0$ で $p = 0$ となるので $K \ne 0$）。$F_{\ge 1}$（添字を 1 下げたもの）は $K$ の極小自由分解で長さ $p - 1 \ge 1$ なので、定理 6.3 から $\operatorname{pd} K = p - 1$、帰納法の仮定から $\operatorname{depth} K = d - p + 1$ です。$0 \to K \to F_0 \to M \to 0$ に 定理 4.5 の (1) を使うと完全列

$$\operatorname{Ext}^i(k, F_0) \to \operatorname{Ext}^i(k, M) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(k, K) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(k, F_0)$$

が得られます。まず $d \ge p$ を示します。$\operatorname{depth} K \ge 0$ から $d \ge p - 1 \ge 1$ なので $\operatorname{Hom}(k, F_0) \cong \operatorname{Hom}(k, A)^{b_0} = 0$ で、$\operatorname{Hom}(k, K) \subseteq \operatorname{Hom}(k, F_0)$（命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1)）も $0$、すなわち $\operatorname{depth} K \ge 1$ で $d \ge p$ です。次に $i \le d - 2$ なら $\operatorname{Ext}^i(k, F_0) = 0 = \operatorname{Ext}^{i+1}(k, F_0)$ なので $\operatorname{Ext}^i(k, M) \cong \operatorname{Ext}^{i+1}(k, K)$ です。$\operatorname{depth} K - 1 = d - p \le d - 2$ なので、$i \le d - p$ の範囲でこの同型が使え、$\operatorname{Ext}^i(k, M)$ は $i < d - p$ で $0$、$i = d - p$ で $0$ でありません。よって $\operatorname{depth} M = d - p$ です。

∎

例 9.2

例 8.4 の $A_{\mathfrak{n}}$（$k[x, y]$ を $(x, y)$ で局所化した環）では $x, y$ が正則列で、$A_{\mathfrak{n}}/(x, y) = k$ はもう延ばせないので $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{n}} = 2$ です（$k$ の元はすべて $\mathfrak{m}$ に零化される）。$M = k$ なら $\operatorname{pd} k = 2$、$\operatorname{depth} k = 0$ で $2 + 0 = 2$。$M = A_{\mathfrak{n}}/(x)$ なら $0 \to A_{\mathfrak{n}} \xrightarrow{x} A_{\mathfrak{n}} \to M \to 0$ から $\operatorname{pd} M = 1$（$M$ は $x$ に零化されるので自由でない）、$M \cong k[y]_{(y)}$ で $y$ が正則列をなすので $\operatorname{depth} M = 1$ で、$1 + 1 = 2$ です。他方 例 4.9 の環では $\operatorname{pd} k = \infty$ で、公式は適用できません。

注意 9.3

定理 9.1 と 命題 7.9 を合わせると、射影次元が有限な加群について $\operatorname{pd} M \le \operatorname{depth} A \le \dim A$ です。次章 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 では、正則局所環 $(A, \mathfrak{m})$ で $\mathfrak{m}$ を生成する $\dim A$ 個の元が正則列になることを示し（系 6.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、定理 8.3 から $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd} k = \dim A$ を得ます（Serre の定理 定理 7.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ の一方向）。逆向きにもこの章の道具を使います。

10. 演習

演習 10.1易

正の整数 $m, n$ について、$\operatorname{Tor}_i^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n)$ と $\operatorname{Ext}^i_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n)$ をすべての $i \ge 0$ について求めてください。

解答

例 4.8 で $N = \mathbb{Z}/n$ とします。$g = \gcd(m, n)$ とおくと、$\mathbb{Z}/n$ で $m\bar a = 0 \iff n \mid ma \iff (n/g) \mid a$ なので、$m$ 倍の核は $(n/g)\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/g$ です。また $(\mathbb{Z}/n)/m(\mathbb{Z}/n) = \mathbb{Z}/(m, n) = \mathbb{Z}/g$ です。よって $\operatorname{Tor}_0 \cong \operatorname{Tor}_1 \cong \mathbb{Z}/g$、$\operatorname{Ext}^0 \cong \operatorname{Ext}^1 \cong \mathbb{Z}/g$ で、$i \ge 2$ ではすべて $0$ です（長さ $1$ の分解で計算）。

演習 10.2標準

体 $k$ 上の $A = k[t]$ で $x = (t, t)$ の Koszul 複体 $K(x)$ のホモロジーを求め、定理 8.3 の仮定が外せないことを確かめてください。

解答

$K(x)$ は $0 \to A \xrightarrow{d_2} A^2 \xrightarrow{d_1} A \to 0$ で、$d_2(e_{12}) = t e_2 - t e_1$、$d_1(a, b) = t(a + b)$ です。$A$ は整域なので $\ker d_2 = 0$、$\ker d_1 = \{ (a, -a) \}$、$\operatorname{Im} d_2 = \{ (-tc, tc) \}$ です。よって $H_2 = 0$、$H_1 \cong A/tA \cong k \ne 0$、$H_0 = A/(t)$ です。第 2 項の $t$ は $A/(t)$ を零化するので零因子で、仮定が崩れると $H_1$ が残ります。

演習 10.3標準

体 $k$ 上の $B = k[x, y]/(xy)$ を $(x, y)$ で局所化した環を $A$、その極大イデアルを $\mathfrak{m}$ とします。(a) $x + y$ が $A$ の零因子でないことを示し、$\operatorname{depth} A = 1$ を示してください。(b) $M = A/(x + y)$ について $\operatorname{pd} M$ と $\operatorname{depth} M$ を求め、Auslander–Buchsbaum の公式を確かめてください。

解答

(a) $B$ の元は $c + f(x) + g(y)$（$f, g$ は定数項なしの多項式）と一意に書けます。$(x + y)(c + f + g) = cx + cy + xf + yg$ で、$x$ だけの部分 $cx + xf$ と $y$ だけの部分 $cy + yg$ がともに $0$ なら $c = 0$、$f = g = 0$ です。よって $x + y$ は $B$ の零因子でなく、局所化 $A$ でも零因子ではありません（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ で $x + y$ 倍の単射性が保たれる）。$A/(x + y)$ では $y = -x$、$x^2 = -xy = 0$ なので、その極大イデアルは $\bar x$ で生成され、$\bar x \ne 0$ が極大イデアルに零化されます（$B/(x + y) \cong k[x]/(x^2)$ はすでに局所環なので $A/(x + y) \cong k[x]/(x^2)$ で、$\bar x \ne 0$ です）。よって長さ 1 の正則列 $x + y$ はそれ以上延ばせず、$\operatorname{depth} A = 1$ です。

(b) $0 \to A \xrightarrow{x + y} A \to M \to 0$ は長さ 1 の自由分解で、$M \ne 0$ は零因子でない元 $x + y$ に零化されるので自由でなく（自由加群 $A^b \ne 0$ では $x + y$ 倍が単射）、定理 5.2 により射影的でもないので $\operatorname{pd} M = 1$ です。(a) で見たとおり $M$ の極大イデアルの元は $\bar x$ を零化するので $\operatorname{depth} M = 0$ です。$1 + 0 = 1 = \operatorname{depth} A$ で公式と一致します。

参考文献

• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §7（平坦性と Tor）、§16（正則列と Koszul 複体）、§19（射影次元と Auslander–Buchsbaum の公式）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。
• W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, revised edition, Cambridge University Press, 1998 — Chapter 1（正則列・深さ・Koszul 複体・Auslander–Buchsbaum の公式）。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Appendix A3（ホモロジー代数）、Chapters 17–19（Koszul 複体・深さ・射影次元）。
• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — Chapters 2–4（導来関手・Tor と Ext・大域次元）。
• M. Auslander, D. A. Buchsbaum, “Homological dimension in local rings”, Transactions of the American Mathematical Society 85 (1957), 390–405。