数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ
Noether 局所環の大域次元
を Noether 局所環とする。 であり、これは有限生成加群の射影次元の上限にも等しい。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 55 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
大域次元は巡回加群で決まる✓補題 6.4・Tor・Ext と深さ
分解の存在✓命題 3.2・Tor・Ext と深さ
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- 馬蹄補題✓補題 3.4・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
射影次元と Ext の消滅✓補題 6.2・Tor・Ext と深さ
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 射影分解・自由分解・入射分解定義 3.1・Tor・Ext と深さ
- 次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
Tor の平衡性✓定理 4.6・Tor・Ext と深さ
テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- Koszul 複体は極小自由分解✓命題 2.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環