馬蹄補題

$0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ を短完全列、$P'_\bullet \to M'$、$P''_\bullet \to M''$ を射影分解とする。このとき $M$ の射影分解 $P_\bullet \to M$ で $P_n = P'_n \oplus P''_n$ となるものと、鎖写像 $\iota\colon P'_\bullet \to P_\bullet$（第 1 成分への包含）、$\pi\colon P_\bullet \to P''_\bullet$（第 2 成分への射影）で、$\varepsilon \iota_0 = f \varepsilon'$、$\varepsilon'' \pi_0 = g \varepsilon$ を満たすものが存在する。とくに $\iota$ は $f$ の、$\pi$ は $g$ の持ち上げであり、各 $n$ で $0 \to P'_n \to P_n \to P''_n \to 0$ は分裂する短完全列である。