Tor・Ext の基本性質

$M, N$ を $A$ 加群とする。

1. $\operatorname{Tor}_0(M, N) \cong M \otimes N$、$\operatorname{Ext}^0(M, N) \cong \operatorname{Hom}(M, N)$ であり、これらの同型は $M$ についての準同型とも $N$ についての準同型とも可換である。
2. $n \ge 1$ について、$M$ が射影的なら $\operatorname{Tor}_n(M, N) = 0 = \operatorname{Ext}^n(M, N)$、$N$ が平坦なら $\operatorname{Tor}_n(M, N) = 0$、$N$ が入射的なら $\operatorname{Ext}^n(M, N) = 0$ である。
3. $a \in A$ について、$M$ 上の $a$ 倍写像 $a_M$ と $N$ 上の $a$ 倍写像 $a_N$ が誘導する $\operatorname{Tor}_n(M, N)$ の自己準同型は、どちらも $a$ 倍写像である。$\operatorname{Ext}^n(M, N)$ についても同様である。とくに $a \in \operatorname{Ann} M + \operatorname{Ann} N$ なら $a \operatorname{Tor}_n(M, N) = 0$、$a \operatorname{Ext}^n(M, N) = 0$ である。
4. 第 2 変数の準同型 $g, g'\colon N \to N'$ と $b \in A$ について $\operatorname{Tor}_n(M, g + g') = \operatorname{Tor}_n(M, g) + \operatorname{Tor}_n(M, g')$、$\operatorname{Tor}_n(M, bg) = b \operatorname{Tor}_n(M, g)$ であり、$\operatorname{Tor}_n(M, g'' g) = \operatorname{Tor}_n(M, g'') \operatorname{Tor}_n(M, g)$ である。$\operatorname{Ext}^n(M, -)$ についても同様である。また $\operatorname{Tor}_n(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Tor}_n(M, N_1) \oplus \operatorname{Tor}_n(M, N_2)$、$\operatorname{Ext}^n(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Ext}^n(M, N_1) \oplus \operatorname{Ext}^n(M, N_2)$ である。