平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する

補題 4.5（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を平坦加群、 $N' \xrightarrow{u} N \xrightarrow{v} N''$ を準同型の列（ $vu = 0$ ）とし、 $H = \ker v/\operatorname{Im} u$ とする。このとき $(\ker v) \otimes M \to N \otimes M$ と $(\operatorname{Im} u) \otimes M \to N \otimes M$ は単射で、その像はそれぞれ $\ker(v \otimes 1)$ 、 $\operatorname{Im}(u \otimes 1)$ に等しく、 $H \otimes M \cong \ker(v \otimes 1)/\operatorname{Im}(u \otimes 1)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Tor の平衡性の自然性✓系 7.2・導来関手と δ 関手
代数的 Künneth 公式✓定理 7.2・Ext と拡大
忠実平坦の特徴づけ✓定理 6.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ

平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件