忠実平坦の特徴づけ

定理 6.2（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§6）・ ✓公理まで証明済み

平坦 $A$ 加群 $M$ について次は同値である。

$M$ は忠実平坦である。
任意の列 $N' \to N \to N''$ について、それが $N$ で完全であることと、 $\otimes M$ を施した列が $N \otimes M$ で完全であることは同値である。
$A$ のすべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\mathfrak{m}M \ne M$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環