数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

テンソル積の右完全性

定理 2.8（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§2）・ ✓公理まで証明済み

$M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $N$ について

M' \otimes N \xrightarrow{u \otimes 1} M \otimes N \xrightarrow{v \otimes 1} M'' \otimes N \to 0

は完全である。命題 2.3 の (1) により、第 2 変数についても同様である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

これを使っている定理証明で参照している 9 件

テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
代数的 Künneth 公式✓定理 7.2・Ext と拡大
完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題
Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さ
Tor の平衡性✓定理 4.6・Tor・Ext と深さ

関連するノック 3 問