完備化とテンソル積

定理 6.2（「完備化と Artin–Rees の補題」§6）・ ✓公理まで証明済み

有限生成 $A$ 加群 $M$ について、 $\xi \otimes x \mapsto \xi\,\iota_M(x)$ で定まる $\widehat{A}$ 線形写像 $\psi_M\colon \widehat{A} \otimes_A M \to \widehat{M}$ は同型である。 $\psi$ は $M$ について自然である。すなわち準同型 $u\colon M \to N$ について $\psi_N \circ (1 \otimes u) = \widehat{u} \circ \psi_M$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 逆極限の完全性✓定理 2.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- ずれが有界なフィルトレーションの逆極限✓補題 3.5・完備化と Artin–Rees の補題
テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

これを使っている定理証明で参照している 2 件

完備化のイデアルと剰余✓命題 6.3・完備化と Artin–Rees の補題
完備化の平坦性✓定理 6.7・完備化と Artin–Rees の補題

完備化とテンソル積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件