完備化のイデアルと剰余

命題 6.3（「完備化と Artin–Rees の補題」§6）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 1$ とする。

$\ker\bigl(p_n\colon \widehat{A} \to A/I^n\bigr) = I^n\widehat{A}$ であり、 $p_n$ は同型 $\widehat{A}/I^n\widehat{A} \cong A/I^n$ を誘導する。
$I^n\widehat{A}/I^{n+1}\widehat{A} \cong I^n/I^{n+1}$ であり、 $\operatorname{gr}_{I\widehat{A}}(\widehat{A}) \cong \operatorname{gr}_I(A)$ は次数環の同型である。
$\widehat{A}$ は $I\widehat{A}$ 進完備である。
$I\widehat{A} \subseteq \operatorname{Jac}(\widehat{A})$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 30 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 逆極限の完全性✓定理 2.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- ずれが有界なフィルトレーションの逆極限✓補題 3.5・完備化と Artin–Rees の補題
完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題（上で展開済み）
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 2 件

完備化の Noether 性と局所性✓定理 6.6・完備化と Artin–Rees の補題
完備化と次元✓系 6.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

完備化のイデアルと剰余

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件