完備化の Noether 性と局所性

定理 6.6（「完備化と Artin–Rees の補題」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $I$ をイデアルとする。

$\widehat{A}$ は Noether 環である。
$(A, \mathfrak{m}, k)$ が局所環で $I = \mathfrak{m}$ なら、 $\widehat{A}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}\widehat{A}$ と剰余体 $k$ をもつ局所環で、 $\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ であり、 $\widehat{A}$ は完備局所環である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完備な環への冪級数の代入✓補題 6.5・完備化と Artin–Rees の補題
- 多変数冪級数環の多重指数表示✓補題 6.4・完備化と Artin–Rees の補題
  - 環係数の形式的冪級数環定義 4.2・Noether 環と Artin 環
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
完備化のイデアルと剰余✓命題 6.3・完備化と Artin–Rees の補題
- 完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 逆極限の完全性✓定理 2.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
    Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - ずれが有界なフィルトレーションの逆極限✓補題 3.5・完備化と Artin–Rees の補題
- 完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題（上で展開済み）
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
冪級数環の Noether 性✓定理 4.3・Noether 環と Artin 環
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 2 件

完備化の平坦性✓定理 6.7・完備化と Artin–Rees の補題
完備化と次元✓系 6.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

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閉包の状態

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