数学 › 可換環論 › 完備化と Artin–Rees の補題

完備な環への冪級数の代入

補題 6.5（「完備化と Artin–Rees の補題」§6） ・ ✓公理まで証明済み

BB を環、JJ をそのイデアルとし、BB は JJ 進完備であるとする。環準同型 σ ⁣:R→B\sigma\colon R \to B と b1,…,br∈Jb_1, \ldots, b_r \in J に対し、環準同型 φ ⁣:R[[x1,…,xr]]→B\varphi\colon R[[x_1, \ldots, x_r]] \to B で、φ∣R=σ\varphi|_R = \sigma、φ(xi)=bi\varphi(x_i) = b_i、およびすべての n≥1n \ge 1 について

φ(f)≡∑d<nσ(fd)(b)(modJn)\varphi(f) \equiv \sum_{d < n} \sigma(f_d)(b) \pmod{J^n}

を満たすものが存在する。ここで σ(fd)(b)=∑∣α∣=dσ(cα)bα\sigma(f_d)(b) = \sum_{|\alpha| = d} \sigma(c_\alpha) b^\alpha である。さらに J=(b1,…,br)J = (b_1, \ldots, b_r) かつ B=σ(R)+JB = \sigma(R) + J なら、φ\varphi は全射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件