多変数冪級数環の多重指数表示

環 $R$ と $r \ge 1$ について、$R[[x_1, \ldots, x_r]]$ の元 $f$ に $R$ の元の族 $(c_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r}$（$f$ の係数）を対応させる全単射で、次を満たすものがある。$f, g$ の係数を $(c_\alpha)$、$(d_\alpha)$ とすると、$f + g$ の係数は $(c_\alpha + d_\alpha)$、$fg$ の係数は $\bigl(\sum_{\beta + \beta' = \alpha} c_\beta d_{\beta'}\bigr)_\alpha$（有限和）である。$1$ の係数は $\alpha = 0$ で $1$、他で $0$ であり、$x_i$ の係数は $\alpha = e_i$（第 $i$ 成分だけが $1$ の多重指数）で $1$、他で $0$ である。