標数 0 の完備局所環は冪級数環の剰余環

系 8.3（「完備化と Artin–Rees の補題」§8）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備 Noether 局所環とし、 $A$ が標数 $0$ の体を含むとする。 $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_r)$ とする。このとき係数体 $K$ と、 $K[[x_1, \ldots, x_r]] \to A$ 、 $x_i \mapsto a_i$ となる全射 $K$ 代数準同型が存在する。とくに $A$ は $k[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

標数 0 での係数体の存在✓定理 8.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
- 完備局所環は Hensel 局所環✓系 7.4・完備化と Artin–Rees の補題
  - Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題（上で展開済み）
  - Hensel 局所環・狭義 Hensel 局所環定義 7.1・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
完備な環への冪級数の代入✓補題 6.5・完備化と Artin–Rees の補題
- 多変数冪級数環の多重指数表示✓補題 6.4・完備化と Artin–Rees の補題
  - 環係数の形式的冪級数環定義 4.2・Noether 環と Artin 環
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

標数 0 の完備局所環は冪級数環の剰余環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）