数学 › 可換環論 › 完備化と Artin–Rees の補題

完備局所環は Hensel 局所環

系 7.4（「完備化と Artin–Rees の補題」§7）・ ✓公理まで証明済み

完備局所環は Hensel 局所環である。
$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Hensel 局所環、 $f \in A[x]$ をモニック多項式、 $\alpha \in k$ を $\bar f(\alpha) = 0$ 、 $\bar f'(\alpha) \ne 0$ を満たす元とする。このとき $f(a) = 0$ 、 $\bar a = \alpha$ となる $a \in A$ が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
- モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
Hensel 局所環・狭義 Hensel 局所環定義 7.1・完備化と Artin–Rees の補題
モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題

これを使っている定理証明で参照している 1 件

標数 0 での係数体の存在✓定理 8.2・完備化と Artin–Rees の補題

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