数学 › 可換環論 › 完備化と Artin–Rees の補題

標数 0 での係数体の存在

定理 8.2（「完備化と Artin–Rees の補題」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題

  • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  • 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
• 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
• 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
• 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
• PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
• Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題

  • モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
• 完備局所環は Hensel 局所環✓系 7.4・完備化と Artin–Rees の補題

  • Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題（上で展開済み）
  • Hensel 局所環・狭義 Hensel 局所環定義 7.1・完備化と Artin–Rees の補題
  • モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
• 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

  • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

    • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
• 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

  • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 標数 0 の完備局所環は冪級数環の剰余環✓系 8.3・完備化と Artin–Rees の補題