数学 › 代数学（群・環・体） › 多項式環と体の拡大
代数的な元による単拡大
を拡大、 とする。代入 , の核が でないとき、 は 上代数的であるという（そうでないとき超越的）。このとき、核は既約なモニック多項式 （ の最小多項式）で生成され、
である。ここで は の 係数多項式全体、 は と を含む の最小の部分体である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 10 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
これを使っている定理 証明で参照している 28 件
- x⁵ - 4x + 2 のガロア群は S₅✓命題 6.5・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
- 有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
- 任意の次数の既約多項式の存在✓系 7.4・多項式環と体の拡大
- 作図可能な数の拡大次数✓定理 8.2・多項式環と体の拡大
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- 不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体
- 標数 0 での係数体の存在✓定理 8.2・完備化と Artin–Rees の補題
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
- 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造
- 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
- 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
- 有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造
- 代数閉包への自己同型の延長✓補題 4.9・フェルマーの最終定理 I
- 三大作図問題と正七角形✓系 7.3・複素数平面と作図
- 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域