数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

拡大体の存在と一意性

命題 2.7（「有限体の構造」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造

  • 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大

    • 整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
    • 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    • オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類

      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
    • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
  • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類

    • 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
    • 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
    • ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類

      • 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類 この先をたどる →
  • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
• 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大

  • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎

    • 体定義 5.1・環と体の基礎
    • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
    • 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎

      • 部分群の判定法✓命題 3.3・部分群と剰余類
      • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  • 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
• 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
• q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造

  • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  • 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎

    • 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎

      • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
• フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
• $x^{q^n} − x$ の既約分解✓定理 5.2・有限体の構造
• 有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造

関連するノック 1 問

• 有限体と符号 第 1 問