有限体の代数閉包
を元の個数が の有限体とする。
- の代数閉包 が存在する。
- を の代数閉包とする。各 について、 は を含み 個の元をもつ の部分体で、 個の元をもつ部分体はこれだけである。 なら で、 である。
- の代数閉包は、 の元を動かさない同型を除いて一意である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 54 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎 この先をたどる →
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造（上で展開済み）
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
- 整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類 この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
- 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造 この先をたどる →
- q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- が を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。