数学 › 代数学（群・環・体） › イデアルと剰余環

整数環と多項式環は単項イデアル整域

命題 7.2（「イデアルと剰余環」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域であり、そのイデアルは $n \ge 0$ に対する $(n) = n\mathbb{Z}$ に限る。
$K$ を体とすると、多項式環 $K[x]$ は単項イデアル整域である。より詳しく、 $\{0\}$ でないイデアル $I$ は、 $I$ に属する $0$ でない元のうち次数が最小のもの $g$ によって $I = (g)$ と表される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 12 件

$F_2$ 線形生成器の最大周期✓定理 5.3・擬似乱数生成器
有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
有理標準形✓定理 7.2・加群と PID 上の構造定理
標数 0 での係数体の存在✓定理 8.2・完備化と Artin–Rees の補題
Jacobson 環上の有限型代数✓定理 5.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
多項式環の素イデアルのファイバー✓補題 6.1・Krull 次元と単項イデアル定理
多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
互いに素な Weierstrass 多項式の Bézout 関係式✓補題 9.3・複素多様体と正則写像
生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
冪等生成元✓命題 3.7・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
2 倍の高さの下からの評価✓補題 17.18・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

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