数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

生成多項式と巡回符号の分類

定理 3.3（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§3） ・ ✓公理まで証明済み

C⊆FqnC \subseteq \mathbb{F}_q^n を巡回符号とする。

  1. xn−1x^n - 1 のモニックな約数 g(x)g(x) で、C={ a(x)g(x) mod (xn−1):a∈Fq[x] }C = \{\, a(x)g(x) \bmod (x^n-1) : a \in \mathbb{F}_q[x] \,\} となるものがただ 1 つある。これを CC の生成多項式という。
  2. k=n−deg⁡gk = n - \deg g とおくと、C={ a(x)g(x):deg⁡a<k }C = \{\, a(x)g(x) : \deg a < k \,\}（k=0k = 0 のときは C={0}C = \{0\}）で、g,xg,…,xk−1gg, xg, \ldots, x^{k-1}g が CC の基底である。とくに dim⁡C=n−deg⁡g\dim C = n - \deg g。
  3. 逆に、xn−1x^n - 1 のモニックな約数 gg はどれも、ある巡回符号の生成多項式である。したがって長さ nn の巡回符号は xn−1x^n - 1 のモニックな約数と 1 対 1 に対応する。
  4. gcd⁡(n,q)=1\gcd(n, q) = 1 で、xn−1x^n - 1 の Fq\mathbb{F}_q 上の相異なるモニック既約因子が tt 個あれば、長さ nn の巡回符号はちょうど 2t2^{t} 個ある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 61 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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