巡回群の構造

$G$ を群、$a\in G$ とします。

1. $\operatorname{ord}(a) = n$ が有限ならば $\langle a\rangle = \{e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}\}$ であり、これら $n$ 個の元は互いに異なる。とくに $|\langle a\rangle| = \operatorname{ord}(a)$。
2. $\operatorname{ord}(a) = \infty$ ならば、$i \ne j$ なる整数に対して $a^i \ne a^j$ であり、$\langle a\rangle$ は無限集合である。
3. 巡回群はアーベル群である。