数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

有限巡回群の元の位数と部分群

補題 2.3（「有限体の構造」§2）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を位数 $N$ の巡回群、 $g$ をその生成元とする。

整数 $j$ に対し、 $g^j$ の位数は $N / \gcd(j, N)$ である。
$G$ の生成元はちょうど $\varphi(N)$ 個ある（ $\varphi$ はオイラー関数）。
$N$ の正の約数 $d$ に対し、 $G_d = \{x \in G : x^d = e\}$ は位数 $d$ の部分群で、 $g^{N/d}$ が生成する。位数 $d$ の $G$ の部分群は $G_d$ だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
- ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
  - 除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理
    整列性公理 3.1・証明の技術
  - 整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門
- 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類

これを使っている定理証明で参照している 5 件

$x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式
円分多項式の有限体上の分解✓定理 3.4・有限体上の多項式
トレースとノルムの基本性質✓定理 4.2・有限体上の多項式
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
原始元・原始多項式の個数✓命題 5.8・有限体の構造

関連するノック 1 問

有限体と符号第 11 問