$x^n − 1$ の有限体上の分解

定理 2.4（「有限体上の多項式」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\gcd(n, q) = 1$ 、 $m = \mathrm{ord}_n(q)$ とする。

$\mathbb{F}_{q^k}$ が位数 $n$ の元をもつことと、 $m \mid k$ であることは同値である。
$\beta \in \mathbb{F}_{q^m}$ を位数 $n$ の元とする。 $\mathbb{F}_{q^m}[x]$ において $x^n - 1 = \prod_{j=0}^{n-1} (x - \beta^j)$ で、 $n$ 個の根は相異なる。
$s \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ に対し、 $\beta^s$ の $\mathbb{F}_q$ 上の最小多項式は

M_s(x) = \prod_{j \in C_s} (x - \beta^j)

で、次数は $|C_s|$ である。 4. $S$ を円分剰余類の代表元の集合とすると、 $\mathbb{F}_q[x]$ において

x^n - 1 = \prod_{s \in S} M_s(x)

で、右辺の因子は相異なるモニックな既約多項式である。特に $x^n - 1$ は重根をもたず、既約因子の個数は $q$ -円分剰余類の個数に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 57 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造
- 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
- 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
- ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
  - ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
    除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
    整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門（上で展開済み）
- オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
位数の基本性質✓補題 2.2・原始根と平方剰余の相互法則
- 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
- ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
  - ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
    除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門
- 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式
- 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
    有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
    因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  - 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造この先をたどる →
  - q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
    因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
    フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎この先をたどる →
  - 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  - 既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
    整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - $x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造

これを使っている定理証明で参照している 3 件

生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
冪等生成元✓命題 3.7・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
円分多項式の有限体上の分解✓定理 3.4・有限体上の多項式

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閉包の状態

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