生成される巡回部分群と元の位数

$G$ を群、$a \in G$ とします。

を $a$ が生成する巡回部分群とよびます。これは実際に部分群です。$a^0 = e$ より空でなく、$a^k (a^l)^{-1} = a^{k-l} \in \langle a \rangle$ なので 命題 3.3(1) が使えます。

また、$a^n = e$ となる正の整数 $n$ が存在するとき、そのうち最小のものを $a$ の位数とよび $\operatorname{ord}(a)$ と書きます。存在しないときは $\operatorname{ord}(a) = \infty$ と定めます。