数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

因数定理と根の個数

補題 2.2（「有限体の構造」§2）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を体、 $f \in K[x]$ を次数 $n \ge 0$ の多項式とする。

$a \in K$ が $f(a) = 0$ を満たすなら、ある $g \in K[x]$ により $f = (x - a)\,g$ と書ける。
$a_1, \ldots, a_k \in K$ が $f$ の相異なる根なら、 $f = (x - a_1)\cdots(x - a_k)\,g$ となる $g \in K[x]$ がある。
$f$ の $K$ における根は $n$ 個以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 11 件

$x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式
円分多項式は整数係数✓補題 3.3・有限体上の多項式
円分多項式の有限体上の分解✓定理 3.4・有限体上の多項式
トレースとノルムの基本性質✓定理 4.2・有限体上の多項式
線形化多項式は線形写像を定める✓補題 5.2・有限体上の多項式
有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造

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