線形化多項式は線形写像を定める

補題 5.2（「有限体上の多項式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L(x) = \sum_{i=0}^{k} c_i x^{q^i}$ を $F = \mathbb{F}_{q^n}$ 係数の線形化多項式とする。

写像 $F \to F$ , $a \mapsto L(a)$ は $K$ 線形で、 $\sum_i c_i \sigma^i$ に等しい。
$k \le n - 1$ で、すべての $a \in F$ について $L(a) = 0$ なら、 $c_0 = \cdots = c_k = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 49 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
  - 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
    整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
    分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類この先をたどる →
    元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
    元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
    生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
    ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
  - 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門
  - 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造
  - 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
  - q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造この先をたどる →
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造
  - 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
  - q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造この先をたどる →
  - $x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
  - 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  - 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造
  - 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
  - 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
  - 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門（上で展開済み）
  - オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造

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