有限体の元は $x^q − x$ の根全体

命題 2.4（「有限体の構造」§2）・ ✓公理まで証明済み

$F$ を有限体、 $p$ をその標数とする。

$|F| = p^e$ となる $e \ge 1$ がある。以下 $q = p^e$ とおく。
すべての $a \in F$ が $a^q = a$ を満たし、 $0$ でない $a$ は $a^{q-1} = 1$ を満たす。
$F[x]$ において $x^q - x = \prod_{a \in F} (x - a)$ である。
$K$ を $F$ を含む体とすると、 $\{a \in K : a^q = a\} = F$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
- 整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
    環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎この先をたどる →
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造

これを使っている定理証明で参照している 9 件

トレースとノルムの基本性質✓定理 4.2・有限体上の多項式
Hilbert の定理 90（有限体）✓定理 4.3・有限体上の多項式
Berlekamp の定理✓定理 6.2・有限体上の多項式
拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造
部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
$x^{q^n} − x$ の既約分解✓定理 5.2・有限体の構造
有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造

有限体の元は xq−xx^q − xxq−x の根全体

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

関連するノック 2 問

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