数学 › 有限体と符号 › 有限体上の多項式

トレースとノルムの基本性質

定理 4.2（「有限体上の多項式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

a,b∈Fa, b \in F、c∈Kc \in K とする。

  1. Tr(a)∈K\mathrm{Tr}(a) \in K、N(a)∈K\mathrm{N}(a) \in K。
  2. Tr(a+b)=Tr(a)+Tr(b)\mathrm{Tr}(a + b) = \mathrm{Tr}(a) + \mathrm{Tr}(b)、Tr(ca)=c Tr(a)\mathrm{Tr}(ca) = c\,\mathrm{Tr}(a)、Tr(c)=nc\mathrm{Tr}(c) = nc。また N(ab)=N(a) N(b)\mathrm{N}(ab) = \mathrm{N}(a)\,\mathrm{N}(b)、N(ca)=cn N(a)\mathrm{N}(ca) = c^n\,\mathrm{N}(a)、N(c)=cn\mathrm{N}(c) = c^n。
  3. Tr(aq)=Tr(a)\mathrm{Tr}(a^q) = \mathrm{Tr}(a)、N(aq)=N(a)\mathrm{N}(a^q) = \mathrm{N}(a)。
  4. Tr:F→K\mathrm{Tr} : F \to K は全射で、各 c∈Kc \in K の逆像はちょうど qn−1q^{n-1} 個の元からなる。N(a)=0  ⟺  a=0\mathrm{N}(a) = 0 \iff a = 0 で、N:F×→K×\mathrm{N} : F^{\times} \to K^{\times} は全射な群準同型であり、各 c∈K×c \in K^{\times} の逆像はちょうど (qn−1)/(q−1)(q^n - 1)/(q - 1) 個の元からなる。
  5. （推移性）MM を K⊆M⊆FK \subseteq M \subseteq F なる中間体とすると、TrF/K=TrM/K∘TrF/M\mathrm{Tr}_{F/K} = \mathrm{Tr}_{M/K} \circ \mathrm{Tr}_{F/M}、NF/K=NM/K∘NF/M\mathrm{N}_{F/K} = \mathrm{N}_{M/K} \circ \mathrm{N}_{F/M}。
  6. aa の KK 上の最小多項式を ma=xd+cd−1xd−1+⋯+c1x+c0m_a = x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \cdots + c_1 x + c_0 とすると、d∣nd \mid n で
Tr(a)=−nd cd−1,N(a)=((−1)dc0)n/d.\mathrm{Tr}(a) = -\frac{n}{d}\, c_{d-1}, \qquad \mathrm{N}(a) = \bigl((-1)^d c_0\bigr)^{n/d}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 58 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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