既約多項式の根

定理 5.1（「有限体の構造」§5）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を元の個数が $q$ の有限体、 $f \in K[x]$ を次数 $n$ のモニックな既約多項式とし、 $F$ を $K$ を含む有限体、 $|F| = q^N$ とする。

$f$ が $F$ に根をもつことと、 $n \mid N$ であることは同値である。
$\alpha \in F$ が $f$ の根なら、 $\alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2}, \ldots, \alpha^{q^{n-1}}$ は相異なり、 $\alpha^{q^n} = \alpha$ で、

f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha^q)\cdots(x - \alpha^{q^{n-1}})

である。特に $f$ は $\mathbb{F}_{q^n}$ で相異なる 1 次式の積に分解する。 $f \ne x$ なら、 $f$ の根はすべて $F^{\times}$ の中で同じ位数をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 51 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
- 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
  - 整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  - オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
    元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門
  - 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造この先をたどる →
- 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造この先をたどる →
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造この先をたどる →
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
  - 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎この先をたどる →
因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
$x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造

これを使っている定理証明で参照している 5 件

最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式
既約多項式の位数✓命題 3.6・有限体上の多項式
$x^{q^n} − x$ の既約分解✓定理 5.2・有限体の構造
原始元・原始多項式の個数✓命題 5.8・有限体の構造
有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造

既約多項式の根

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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