トレース形式の非退化性と双対基底

命題 4.5（「有限体上の多項式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\langle a, b \rangle = \mathrm{Tr}_{F/K}(ab)$ は $F$ 上の対称な $K$ 双線形形式で、非退化である。すなわち、すべての $b \in F$ で $\mathrm{Tr}(ab) = 0$ なら $a = 0$ である。
$(e_1, \ldots, e_n)$ を $F$ の $K$ 上の基底とすると、 $\mathrm{Tr}(e_i f_j) = \delta_{ij}$ （ $i = j$ のとき $1$ 、それ以外は $0$ ）を満たす基底 $(f_1, \ldots, f_n)$ がただ 1 つ存在する（双対基底）。このとき任意の $a \in F$ は $a = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Tr}(a f_i)\, e_i$ と表される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 62 件、定義なども含めて 73 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

トレースとノルムの基本性質✓定理 4.2・有限体上の多項式
- 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
  - 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
    整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
    分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類この先をたどる →
    元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
  - 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造
  - 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
  - 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解この先をたどる →
  - 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門この先をたどる →
  - オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
- 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  - 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
  - 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  - 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門この先をたどる →
  - 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造この先をたどる →
  - 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造この先をたどる →
  - 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造（上で展開済み）
- 最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式
  - 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造この先をたどる →
双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
- 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

線形汎関数はトレースで書ける✓系 4.6・有限体上の多項式
加法指標の分類と直交関係✓補題 2.3・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

トレース形式の非退化性と双対基底

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件