双対基底

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$(\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n)$ をその基底とする。線形形式 $e^{1},\ldots,e^{n}\in V^{*}$ を

で定めると（$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ）、次が成り立つ。

1. $(e^{1},\ldots,e^{n})$ は $V^{*}$ の基底である（双対基底）。とくに $\dim V^{*}=\dim V$。
2. 任意の $f\in V^{*}$ と $\boldsymbol{v}\in V$ に対し、$f=\sum_{i}f(\boldsymbol{e}_i)\,e^{i}$、$\boldsymbol{v}=\sum_{i}e^{i}(\boldsymbol{v})\,\boldsymbol{e}_i$。