数学 › 有限体と符号 › 線形符号

双対符号の次元と検査行列

定理 3.5（「線形符号」§3）・ ✓公理まで証明済み

$C$ を $[n, k]_q$ 符号、 $G$ をその生成行列とする。

$C^{\perp}$ は $[n, n - k]_q$ 符号である。
$(C^{\perp})^{\perp} = C$ 。
$C^{\perp} = \{\boldsymbol{y} : G\boldsymbol{y}^{\mathsf{T}} = \boldsymbol{0}\}$ である。また、行列 $H$ が $C$ の検査行列であることと、 $H$ が $C^{\perp}$ の生成行列であることは同値である。特に検査行列は $(n - k) \times n$ 行列である。
$G = [\,I_k \mid A\,]$ ならば、 $H = [\,-A^{\mathsf{T}} \mid I_{n-k}\,]$ は $C$ の検査行列である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
- 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
  - 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

巡回符号の双対符号✓定理 3.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
MDS 符号の特徴づけ✓定理 5.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
PG(n, q) の点・直線・超平面✓定理 2.4・有限幾何とデザイン
単体符号・1 次 Reed–Muller 符号と幾何✓命題 7.1・有限幾何とデザイン
Hamming 符号と単体符号✓定理 6.2・線形符号
Hamming 符号の重み多項式✓系 3.7・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号
平方剰余符号の双対と拡大符号✓補題 5.4・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

双対符号の次元と検査行列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

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