数学 › 有限体と符号 › 有限幾何とデザイン

単体符号・1 次 Reed–Muller 符号と幾何

命題 7.1（「有限幾何とデザイン」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. r≥2r \ge 2、n=(qr−1)/(q−1)n = (q^r - 1)/(q - 1) とし、PG(r−1,q)\mathrm{PG}(r - 1, q) の各点の代表ベクトル p1,…,pn∈Fqrp_1, \ldots, p_n \in \mathbb{F}_q^r を列に並べた行列を生成行列とする符号（単体符号）を考える。その符号語は cu=(u⋅p1,…,u⋅pn)c_u = (u \cdot p_1, \ldots, u \cdot p_n)（u∈Fqru \in \mathbb{F}_q^r）で、u≠0u \ne 0 のとき cuc_u が 00 になる座標は超平面 u⊥u^{\perp} の上の点に対応し、wt⁡(cu)=qr−1\operatorname{wt}(c_u) = q^{r-1} である。すなわち、00 でない符号語の台は超平面の補集合である。
  2. m≥1m \ge 1 とし、座標を AG(m,2)=F2m\mathrm{AG}(m, 2) = \mathbb{F}_2^m の点で番号づけた二元符号 RM(1,m)={ (u⋅x+β)x∈F2m:u∈F2m, β∈F2 }\mathrm{RM}(1, m) = \{\, (u \cdot x + \beta)_{x \in \mathbb{F}_2^m} : u \in \mathbb{F}_2^m,\ \beta \in \mathbb{F}_2 \,\} （1 次 Reed–Muller 符号）は [2m,m+1,2m−1]2[2^m, m + 1, 2^{m-1}]_2 符号で、重み 2m−12^{m-1} の符号語の台の全体は、AG(m,2)\mathrm{AG}(m, 2) のアフィン超平面の全体と一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。