座標同型と、基底による線形写像の決定

$V$ を $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、$\mathcal{B} = (\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)$ をその順序基底とする。

1. 各 $\boldsymbol{v} \in V$ に対し $\boldsymbol{v} = \sum_{j=1}^{n} x_j \boldsymbol{e}_j$ と表す係数 $(x_1, \ldots, x_n)$ はただ 1 通りに定まり、写像 $$\varphi_{\mathcal{B}} : V \to K^n, \qquad \varphi_{\mathcal{B}}(\boldsymbol{v}) = (x_1, \ldots, x_n)^{\mathsf{T}}$$ は線形同型である。これを $\mathcal{B}$ に関する座標同型と呼ぶ。
2. $W$ を $K$ 上の任意のベクトル空間、$\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n \in W$ を任意の元とする。このとき $f(\boldsymbol{e}_j) = \boldsymbol{w}_j\ (j = 1, \ldots, n)$ を満たす線形写像 $f : V \to W$ がただ 1 つ存在する。