線形写像と行列の対応

$V, W, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ を 定義 3.1 のとおりとし、$\dim V = n$、$\dim W = m$ とする。$\boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_n)^{\mathsf{T}} \in K^n$ と $A = (a_{ij}) \in M_{m,n}(K)$ に対し、$A\boldsymbol{x} \in K^m$ を

で定める。このとき次が成り立つ。

1. $A = M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}(f)$ とおくと、すべての $\boldsymbol{v} \in V$ に対し $\varphi_{\mathcal{C}}\bigl(f(\boldsymbol{v})\bigr) = A\,\varphi_{\mathcal{B}}(\boldsymbol{v})$ が成り立つ。
2. 写像 $M_{\mathcal{C}\mathcal{B}} : \operatorname{Hom}(V, W) \to M_{m,n}(K)$、$f \mapsto M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}(f)$ は線形同型である。ここで $\operatorname{Hom}(V,W)$ は $V$ から $W$ への線形写像全体のなすベクトル空間を表す。

特に $\dim \operatorname{Hom}(V, W) = mn$ である。