数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

MDS 符号の特徴づけ

定理 5.5（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 最小距離と検査行列の列✓定理 3.7・線形符号

  • 最小距離は最小重み✓命題 3.2・線形符号

    • Hamming 距離は距離✓命題 2.2・線形符号
• Singleton 限界✓定理 5.3・線形符号

  • 鳩の巣原理✓定理 7.5・数え上げと母関数

    • 非交和の性質✓命題 4.8・数学の国語
• 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質

  • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質

    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換

    • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換

      • 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換

      • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
• 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

  • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
• 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号

  • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間

    • 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
  • 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換

    • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換

      • 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
    • 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換

      • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
      • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  • 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
  • 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間

    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
  • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• MDS 符号の重み分布✓定理 4.1・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

関連するノック 1 問

• 有限体と符号 第 31 問