数学 › 線形代数学 › 行列式とその性質

余因子展開（ラプラス展開）

定理 5.2（「行列式とその性質」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 2$ 、 $A \in M_n(\mathbb{K})$ とします。

各 $j \in \{1, \ldots, n\}$ を固定するとき（第 $j$ 列に関する展開） $\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, \widetilde{a}_{ij} = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}.$
各 $i \in \{1, \ldots, n\}$ を固定するとき（第 $i$ 行に関する展開） $\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\, \widetilde{a}_{ij} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}.$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 9 件

接続行列の小行列式✓補題 3.1・グラフと行列式
Cauchy の行列式✓定理 5.1・グラフと行列式
発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
Vandermonde 行列式✓補題 2.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
Cayley–Menger の公式✓定理 8.1・空間座標と空間ベクトル
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間
S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標

関連するノック 4 問