数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標

S² の球面測度の球座標表示

命題 6.10（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 115 件、定義なども含めて 133 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

  • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

    • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

    • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
• 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

    • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
    • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
• 例外集合を許す変数変換公式✓系 5.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
  • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 5.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
• $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  • 極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
  • リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 球帯の面積（Archimedes）✓定理 4.2・立体の体積・球面・多面体
• 軸対称調和関数は Legendre 多項式✓命題 3.3・球面調和関数と Legendre 関数