数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標

最大値ノルムでの平均値不等式

補題 4.3（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§4）・ ✓公理まで証明済み

$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、 $\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像とし、 $x,y\in U$ を結ぶ線分 $[x,y]$ が $U$ に含まれるとする。このとき

\|\Phi(x)-\Phi(y)\|_\infty\le\sup_{z\in[x,y]}\|D\Phi(z)\|_\infty\;\|x-y\|_\infty .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 5.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標