数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標

立方体の像の測度

補題 4.4（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 58 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理

      • 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
      • フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
• 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

    • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
• 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  • 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式

      • 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式 この先をたどる →
      • 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
      • 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
    • 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式

      • 行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
  • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標