数学 › 解析学（実解析） › 直積測度と Fubini–Tonelli の定理

直積測度の存在と一意性

定理 3.2（「直積測度と Fubini–Tonelli の定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

  • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

• 許容測度の存在✓補題 6.3・Lorentz 多様体の因果構造
• Bernoulli シフトの構成✓補題 2.5・エルゴード定理
• Brown 運動と Wiener 測度の存在✓定理 7.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
• 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
• 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
• $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
• Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
• $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

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• 実解析 第 88 問