Brown 運動と Wiener 測度の存在

定理 7.2（「Kolmogorov の拡張定理と連続性定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

確率空間上の実数値過程 $(B_t)_{t\ge0}$ で、定義 5.1［マルチンゲールとブラウン運動］の四条件を満たし、しかもすべての道が連続なものが存在する。その道は、任意の $\gamma\in(0,1/4)$ と $n$ について、ほとんど確実に $[0,n]$ 上で $\gamma$ -Hölder 連続である。
$(W^d,\mathcal{B}(W^d))$ 上の確率測度 $\mathbb{W}$ で、座標過程 $(\pi_t)_{t\ge0}$ が $d$ 次元標準 Brown 運動となるものがただ一つ存在する。これを Wiener 測度という。 $x\in\mathbb{R}^d$ に対し、 $w\mapsto x+w$ による $\mathbb{W}$ の像を $\mathbb{W}_x$ と書く（ $x$ から出発する Brown 運動の法則）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 127 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss 過程の存在✓定理 5.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- Kolmogorov の拡張定理✓定理 4.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
  - 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
Kolmogorov の連続性定理✓定理 6.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- マルコフの不等式✓定理 6.1・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
ブラウン運動のガウス過程による特徴づけ✓命題 5.5・マルチンゲールとブラウン運動
- ブラウン運動（ウィーナー過程）定義 5.1・マルチンゲールとブラウン運動
連続関数の空間✓補題 7.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
  - 一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
- 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Brown 運動の Markov 性✓定理 2.2・Feller 過程と Feynman–Kac
ウィーナーの存在定理✓定理 5.2・マルチンゲールとブラウン運動

Brown 運動と Wiener 測度の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件