Gauss ベクトルの構造

定理 5.2（「特性関数と Gauss ベクトル」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ が Gauss ベクトルで平均 $m$ 、共分散 $C$ ならば、 $C$ は対称半正定値行列で $\varphi_X(t)=\exp\Bigl(i\langle t,m\rangle-\tfrac12\langle t,Ct\rangle\Bigr).$
逆に、任意の $m\in\mathbb{R}^d$ と対称半正定値行列 $C$ に対し、平均 $m$ 、共分散 $C$ の Gauss ベクトルが存在する。その分布は $(m,C)$ だけで決まる。これを $N(m,C)$ と書く。
$C$ が正定値のとき $N(m,C)$ は密度 $\dfrac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det C}}\exp\Bigl(-\tfrac12\langle x-m,C^{-1}(x-m)\rangle\Bigr)$ を持つ。 $C$ が特異なとき、 $N(m,C)$ はルベーグ測度に関する密度を持たない。
$X\sim N(m,C)$ のとき、 $A$ を $d'\times d$ 行列、 $b\in\mathbb{R}^{d'}$ として $AX+b\sim N(Am+b,ACA^{\mathsf T})$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 111 件、定義なども含めて 133 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 11 件

2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
多次元正規分布からの生成✓命題 5.3・分布からの標本抽出
バッチ平均の偏りと、バッチ数を固定したときの不一致✓定理 5.2・統計誤差の解析
Wilks の定理✓定理 5.2・検定と区間推定
Cochran の定理✓定理 4.3・線形モデル
正規線形モデルの標本分布✓定理 4.4・線形モデル
無相関ならば独立✓命題 5.3・特性関数と Gauss ベクトル
Wick（Isserlis）の公式✓定理 6.1・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss 過程の存在✓定理 5.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
2 乗の Laplace 変換✓補題 8.4・Gauss 型の相関不等式
Gauss 相関不等式（Royen 2014）✓定理 8.6・Gauss 型の相関不等式

Gauss ベクトルの構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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関連するノック 3 問

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