数学 › 確率論 › 特性関数と Gauss ベクトル

無相関ならば独立

命題 5.3（「特性関数と Gauss ベクトル」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 134 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル

  • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル

    • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

      • 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
      • 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質

      • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性

      • コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性 この先をたどる →
      • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
    • 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
      • 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル

  • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

    • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

      • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル

  • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

• 2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
• Cochran の定理✓定理 4.3・線形モデル
• ポリマー表示（原論文の (V.A.7)–(V.A.9)）✓命題 3.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
• ポリマー展開（原論文の Theorem 1）✓定理 7.11・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
• 条件付き Gauss 分布と 1 段の分解✓補題 3.2・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部
• Euclid 場と自由場の半群✓命題 3.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• 区分定数ドリフトの Cameron–Martin 公式✓補題 8.3・Gauss 解析の道具
• Khatri–Šidák の不等式✓定理 8.3・Gauss 型の相関不等式
• Gauss 相関不等式（Royen 2014）✓定理 8.6・Gauss 型の相関不等式

関連するノック 1 問

• 確率論 第 62 問